PROBLÈME V

71. Trouver la valeur d'une annuité reposant sur un groupe quelconque de têtes ABC. . ., après le dernier décès d'un autre nombre quelconque de têtes P,Q,R,....

SOLUTION

Désignons, comme dans le dernier problème, les probabilités que les têtes proposées ont de vivre i , 2 , 3 , . . . ans. Or la chance que le groupe ABC a de recevoir l'annuité à la fin d'une année quelconque, dépendra de son existence à la fin de cette année , et de Textinction de toutes les têtes P, Q, R, avant la fin de cette même année. La probabilité de cet

événement est, pour la première année, — . — (i — ^ j

X Ti — — ) X (i \ expression qui, multipliée

par (i+f)"*, donnera la valeur actuelle de la rente de la premiere année. De la même manière, — ^-{ i — — J

x(i — — ) X (i — — ) multiplié par (i + p)"*, et (i +p)""^, désigneront respectivement les valeurs de

( 55 ) la rente de la seconde et de la troisième année- et ainsi de suite pour toutes les années suivantes, jusrqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la somme de tous ces termes sera la valeur totale actuelle de Tannuilé demandée. Mais ces expressions , développées et simplifiées, sont égales à la série

a'b'c' f V <ï r // pV yV /yV N aôc(i+p)\ P q y pq pr qr pqr )

__aw^ (^p:i qi ri^££,PX^qX^Pl£s\

"^ ahc{\-\-^)\ P q r pq pr qr pqr )

û^c(i-j-p)^V P q r pq pr qr pqr )

-f-etc.

dont la somme est évidemment égale à ABC — ABCP — ABCQ — ABCR + ABCPQ + ABCPR + ABCQR — ABCPQR,

72. D'où suit que la valeur d'une annuité en réversion sur un groupe quelconque ABC. . • . , après le dernier décès d'un autre nombre de têtes P, Q, R, . . . est égale à la valeur d'une annuité sur le groupe de toutes les têtes en reversion , moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de toutes les tètes en reversion avec les autres têtes une à une, plus la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de toutes les têtes en reversion avec les autres têtes deux à deux , moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la

(54)^ combinaison de toutes les têtes en reversion avec les autres têtes trois à trois, et ainsi de suite.