TL
Corollaire 3.
195. Si la chance dont dépend la jouissance Je l'annuité est différée d'un nombre d'années n^ la série exprimant îa valeur générale de l'annuité perpétuelle en reversion ne doit commencer qu'après ce délai pour continuer alors jusqu'à l'infini; c'est-à-dire que la série
ti, ^ yf et (l y "> ^ y
désignera îa valeur de l'annuité demandée, dont ou entrerait en jouissance si l'une des tètes proposées venait à s'éteindre après la rf""' année. Or cette série peut se décomposer en deux autres :
la première de ces séries est égale à (i + f)"" x -;
et la dernière est, d'après le prob. I, cor. 3, égale à — (i + f)-" X A^B^'C'. Donc la valeur de l'annuité demandée serait égale à ( i +p)~'" x (-— ^°2^° ^''^ j
si l'on était certain que les têtes proposées dussent atteindre la fin de la n'"^^ année ; mais comme la
probabilité de cet événement est -^ , nous devons
multiplier par cette quantité l'expression ci-dessus pour obtenir la valeur demandée. Cette valeur est
( ,3, ) donc égale à
^(^ + pr"x ^—^«^«6- X ^^(i 4-f)--.
Mais J'B^C'' X ^^(î + rt~"est , d'après le prob. I, ,corol. 3, égal à {^ABCy ; la valeur ci-dessus devient cîonc ~^ (i + f)-" X - — (-^iS^)' : d'où la règle suivante :
194. Multipliez Fespérance que les têtes proposées ont de recevoir i fr. à la fin du délai fixé par la valeur de l'annuité perpétuelle ; retranchez du produit la valeur d'une annuité différée du délai ïixé sur les têtes proposées : le reste sera la valeur demandée.
Corollaire 4-
195. Si la chance dont dépend la jouissance de l'annuité est temporaire ^ c'est-à-dire si nous avons à déterminer la valeur de ces sortes d'annuités qui dépendent de l'extinction des têtes proposées, pourvu que cet événement ait lieu dans un certain laps de temps n'y la valeur de l'assurance sera exprimée par la série ;
a 0 c a t) c abc
abc j. abc^ ^ ohc^ ,
Ci/3 y etfly ctièy
abc abc . abc^
Car la rente de la ?z'''"^ année et toutes les suivantes dépendant de l'extinction des têtes proposées dans
l'espace de n années, il est évident que toutes ces rentes consécutives doivent être multipliées par le
facteur commun M — ~Tj' ^^^^ ^^^ ^ premiers termes de cette sériesont égaux à — ^ — 2 [ABC)';
comme nous l'avons trouvé par le corollaire 2; et les termes restans sont égaux à
(i— J)x(i-fçrx[(n-çr^+<n-çn-f(i-f€)-^^-h....oo]
=0-S)x^-+^)-'xr
Donc la valeur totale de la série devient
expression qui, puisque {ABC f = ABC — {ABCf peut se réduire en
d'oii la règle suivante :
196. De la valeur totale de l'annuité perpétuelle dépendant de l'extinction des têtes proposées , retranchez la valeur de la même annuité, différée du délai fixé : le reste sera la valeur demandée.
Corollaire 5.
197. Il ressort évidemment de ce qui a été dit au corollaire i , que si l'annuité , au lieu d'être perpétuelle , était limitée à un certain nombre d'années^
( >33 ) les règles des deux derniers corollaires seraient également applicables; il suffirait de substituer l'annuité limitée à l'annuité perpétuelle. Celte annuité temporaire devrait toutefois embrasser plus de temps que l'assurance proposée.
Corollaire 6.
198. Quoique, dans ce problème, je n'aie considéré que le cas où il s agit d'un groupe de trois têtes, il sera cependant facile d'appliquer le même raisonnement à toute autre combinaison de têtes, et il suffira de substituer la valeur d'une annuité dépendant de cette combinaison de têtes, soit pour la totalité de leur existence, soit difîérée d'un certain nombre d'années, aux expressions ABC , ou [ABCf des formules que j'ai exposées, pour obtenir les résultats demandés.
199. Toutefois on devra spécialement observer que , quand il s'agit du dernier décès d'un nombre
quelconque de têtes, la quantité ^^(i+ p)""", représente l'espérance que la dernière vivante de ces têtes a de recevoir i fr. à la fin du délai fixé. Une observation analogue s'applique au cas où l'assurance dépend de l'extinction de deux quelconques de trois têtes proposées , etc. , etc. Voyez le problème XXlî^
corollaire 3.
Scolie.
200. Au moyen de ces deux problèmes et de leurs corollaires, on peut résoudre toutes les questions re-
iaiives à la valeur des assurances d'un capital ou d'une annuité qui dépendent des diverses conditions que j'ai exposées. Et comme tout capital peut être converti en une annuité perpétuelle correspondante, si on le multiplie par l'intérêt annuel de i fr., il semble , au premier abord , qu'il reviendrait au même do déterminer la valeur actuelle d'un capital dépendant de l'extinction d'un nombre quelconque de têtes, ou celle d'une annuité correspondante dépendant des mêmes circonstances. Mais on doit observer que le premier paiement de l'annuité est touché par le bénéficiaire à la fin de l'année dans laquelle s'éteignent les têtes proposées, quelle que soit d'ailleurs la fraction d'année qui n'est pas encore écoulée ; cette époque est aussi celle de l'échéance du capital. Dans le premier cas, le bénéficiaire entre donc en jouissance de son annuité, ou reçoit la rente de la première année , en même temps que le bénéficiaire du capital est supposé placer cette somme pour acquérir une rente perpétuelle équivalente, mais dont il ne recevra le premier paiement quun an plus tard. Ainsi l'annuité assurée vaut une année de rente de plus que le capital correspondant; donc la première est au second dans le même rapport que r ïw augmenté de son intérêt pendant un an, esta i fr. , cest-àdirie :: (14- f) : i.
201. Donc, si l'on multiplie par (i+p) la valeur actuelle du capital exigible , on aura celle de la propriété foncière ou de l'annuité perpétuelle correspondante. Ainsi, la valeur actuelle d'une annuité
( ,55 ) perpétuelie de i fr, payable après la dissolution du groupe ABC , est , d'après le problème XXII , égale
à -^^ , et la valeur actuelle d'un capital cor-
respondant , - , payable aux ménies conditions , est, d'après le problème XXIII, égale à -x — TZT^ —
==■; — — - X ; or il est évident que la pre-
niière expression est à la seconde dans le rapport de (i-f-p) à 1.
202. Il résulte également de ce rapport, que si l'on divise la valeur de l'annuité payable après l'extinction d'une combinaison quelconque de têtes, par le produit de i fr. augmenté de son intérêt après un an , on obtiendra la valeur du capital correspondant dépendant de Textinction des mêmes têtes.
En comparant les exemples semblables des deux problèmes et de leurs corollaires, on éonfîrmerait pleinement la vérité de ces remarques , ainsi qu'on peut le voir dans le scolie de la question XX VU du chapitre XII.
(VV\'VV%/VV1\V\A/Vl(VV^iVV\lVV^'VV\IVVX'VV\aV»\\/\/V>VVV\'VV^X\\AA'>AVV\V'X'VV\'VV»AiV\VV\'VX\\'V>'VV\\VX/V\'\'VV\'\^"^
