PROBLÈME XXIV

204. Supposons que A jouisse d'une annuité jusqu'à son décès, et qu'avant de mourir il ait la faculté de se choisir un successeur B, qui jouisse à son tour de l'annuité jusqu'à son décès : trouver la valeur actuelle de l'annuité sur la tête en succession , et la valeur totale de l'annuité sur les deux têtes successives.

SOLUTION

Supposons que l'annuité sur la tête en succession B, désignable au décès de A, soit à cette époque égale à B. Or, la probabilité que la première tête a de s'éteindre, et la seconde d'entrer en possession ,

dans la première année, étant -, et la valeur

totale de l'annuité par rapport à B, lors de son entrée en possession , étant B^ il s'ensuit que son espérance pour la première année sera, comme dans

le problème XXII, représentée par B x . On

trouvera de même que B X représente son

espérance pour la seconde année, et^ X ' ^ son

espérance pour la troisième, et ainsi de suite pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie de A.

La somme de toutes ces valeurs est égale à

Ï(H^ X [«+ — +^^:^.+ ^^^^ + etc.J

- X —. r TTITT. + , . V3 + etc. ; cette ex-

« Li-fç (i-hc) (i-hç) J

( i38 ) pression qui, d'après le problème XXII, est égale

h B X , ^-T , serait la valeur demandée , si B

était un capital en reversion payable au décès de A : mais comme B désigne !a valeur d'une annuité, dont le premier paiement n'a lieu qu'à la fin de Tannée dans laquelle s'éteint la tête A , nous devrons multiplier l'expression ci-dessus par (i +f) , d'après ce qui a été dit dans le scolie de la page i35; donc B {^\ — fA) sera la vraie valeur de l'annuité sur la tête en succCvSsion ; d'où la règle suivante :

205. Multipliez la valeur d'une annuité sur la tête en possession, par le taux de l'intérêt, et retranchez le produit de l'unité; multipliez le reste par la valeur présumée d'une annuité sur la tête en succession : le produit sera la valeur actuelle d'une annuité sur cette tête en succession.

206. Si l'on ajoute cette valeur à celle d'une annuité sur la tête en possession, on aura A-\-B{\ — fA) pour la valeur de l'annuité sur les deux têtes successives.

Voyez, pour l'application de ce problème, la question XXIIÏ du chapitre XÏI.

Corollaire 2.

207. On peut déterminer par là la valeur actuelle d'une annuité sur un groupe quelconque de têtes , ou payable jusqu'au ^e/7z/er décès d'un nombre quelconque de têtes, ou dépendant de toute autre com-

bjuaisoii de teles qui doivent succéder à une combinaison semblable : car, en appelant respectivement A ei B les valeurs d une annuité sur ces têtes, la formule ci-dessus exprimera la valeur actuelle d'une annuité sur ces têtes en succession.

Corollaire i.

208. Si la têle en succession, au lieu de recevoir YdiWwvivXé jusquà son décès , ne la devait toucher que pendant un nombre certain d'années, à partir de Fextinction de la îcte en possession; dans ce cas , il suffirait d'appeler B la valeur de cette annuité certaine pour que la formule ci-dessus exprimât encore exactement la valeur actuelle de cette annuité, dont on doit entrer en jouissance à l'extinction de la tête en possession.

Et si cette annuité était perpétuelle , B serait égale

à -, et la formule deviendrait ^ A, expression

identique avec celle déduite du problème XXIII.

Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question XXIV du chapitre XII.'