PROBLÈME XXV

209. Trois têtes. A, B, C, étant données en succession , trouver la valeur de Farinuité sur la troisième tête en succession, et aussi la valeur totale de l'annuité su/ les trois têtes successives.

SOLUTION

Supposons que les valeurs d'une annuité sur chacune des trois têtes, à l'époque où elles entrent en

possession , soient respectivement repre'sentëes par A , B^ C. Or la valeur d'une annuité commençant au décès de A sur la première tête en succession, étant à la valeur d'une rente perpétuelle commençant à la même époque, dans le rapport de i? à - ,

il s'ensuit que la valeur actuelle de la première sera à la valeur actuelle de la seconde, dans le même rapport. Mais la valeur actuelle de la rente perpétuelle commençant au décès de A , est, d'après le

problème XXIII , égale à Az=i ^ : donc,

~ \ B \\ — : X = B (i — pA); le dernier

terme de cette proportion est la valeur actuelle de lannuité sur la première tête en succession. Nous avons trouvé le même résultat par le dernier problème; on voit donc que les deux méthodes de solution se servent de preuve l'une à l'autre.

La valeur actuelle de l'annuité sur les deux premières têtes successives étant ainsi trouvée égale à A-^- B{i — fA) y il s'ensuit que la valeur actuelle de la reversion d'une annuité perpétuelle après l'extinction de ces têtes , sera ( d'après le problème XXIII)

égale à l^[A+BU —fA)'\ z=z-{^—fA)X{i—rB).

Conséquemment, puisque la valeur d'une annuité sur la troisième tête en succession (à partir du décès de B) , est à la valeur d'une annuité perpétuelle (à partir de la même époque) dans le rapport de C

à ~; il s'ensuit que la valeui' actuelle de la première

sera à la valeur actuelle de la seconde dans le même rapport, c'est-à-dire qu'on aura

valeur actuelle d'une annuité sur la troisième tête successive ; d'où la règle suivante :

210. Multipliez la valeur d'une annuité sur la tête en possession, par le taux de l'intérêt, et retranchez le produit de l'unité; multipliez aussi la valeur présumée d'une annuité sur la seconde tête en succession, parle taux de l'intérêt, et retranchez de même le produit de l'unité; multipliez ensemble ces deux restes, et leur produit par la valeur présumée d'une annuité sur la troisième tête, lors de son entrée en jouissance; ce dernier produit sera la valeur actuelle de l'annuité sur la troisième tête successive.

211. Si l'on ajoute ensemble les valeurs actuelles pour chaque tête successive, comme nous les avons trouvées ci - dessus, leur somme ou A-^B(^\ — ^A) + C(i — f ^) X (i — ^B) sera la valeur actuelle de l'annuité sur les trois têtes successives ; cette expression sera trouvée égale à - i — (i — pA ) x, (i — pB) X (i — fC) j; d'où la règle suivante :

212. Multipliez les valeurs présumées d*une annuité sur chacune des têtes proposées, par le taux de l'intérêt; retranchez de lunité chacun de ces

produits, et multipliez ensemble tousles restes; re- Iranchez aussi (1« l'unité ce dernier produit, et divisez le reste par le taux de l'intérêt; le quotient sera la valeur actuelle de l'annuité sur toutes les têtes successives, en y. comprenant la tète en possession.