V-7)^ bc V

et (^'-^"^r ^'

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par 6" (i + p)~*, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, et si Ton réduit ces diverses espérances annuelles à leur plus simple expression, et qu'on les dispose les unes sous les autres, elles formeront quatorze séries collatérales, dont la somme des n premiers termes variera selon i'â,ge comparatif des têtes en question.

305. P' CAS. Soit A là plus vieille des trois têtes. Dans ce cas les termes des diverses séries dont nous parlons doivent être continués jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, puisque la tête A se trouve impliquée dans chacune d'elles : donc la somme en sera égale à s multiplié par

i^^A i+AB i-\-A'B a i+AC i-^-A'C a

2(i+ç)"^2(i+ç) 2(i-j-g)*« 2(i+ç)'*"2(H- ç)' a i—^ABC x-^A'BC ± j T^p ci^, i-i-AB'C ^

( 246 ) expression qui , indépendamment du multiplicateur commun s^ peut se réduire , comme dans les cas précédens, à

et que je représenterai par (È.

Donc quand A est la plus vieille tête, la valeur demandée sera représentée par ^ X ®.

306. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

2(i-f-ç) ac^ ^^^^

Mais après le décès de B les espérances de toutes les années suivantes peuvent être exprimées plus correctement au moyen du premier lemme du chapitre V ; car puisque la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de A dans l'année, C étant mort

( 247 ) avant B dans une des années précédentes (on a vu dans le leninie que la probabilité de celte dernière condition est représentée par î — (p), nous trouverons que la somme des espérances de ces années, continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , est égale à

^•(i-<p)xff^.:-(.+f)-'.

Par conséquent cette valeur, ajoutée à la somme des n premiers termes de la série trouvée plus haut, exprimera la valeur totale actuelle delà somme donnée dans le cas proposé : cette valeur sera trouvée égale à i^.((^ -|- x).

507. III^ CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas les n premiers termes des diverses séries, collatérales précitées seront égaux à

2(i4-ç) « ^ '^^ 2(14.^) ab^^^^^

^ 2(1 +ç) ' ab"^^^^^ •

Mais après le décès de C, la chance qu'on a de recevoir la somme proposée à la fin d'une quelconque des années suivantes dépendra seulement de la mort de A dans l'année , C étant mort avant B dans une des années précédentes- donc la somme des espérances de toutes les années suivantes sera représentée comme dans le cas précédent par