PROBLÈME XLIV

504. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit, la seconde ou la troisième qui s'éteigne de trois têtes données A, B, C , et pourvu que C meure avant B.

(i) Il n'est pas inutile de remarquer ici que la valeur îrouvée au moyen de ce problème est égale à la somme des valeurs trouvées au moyen des problèmes XXIX et XLI ; cette coïncidence est une preuve de Texactitude de Topération.

1S0LUT1ON

La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année, si l'un de ces deux ëvénemens a lieu : i"*. ou toutes les têtes s'éteindront dans l'année, C étant mort le premier: 2°. ou A et C mourront dans Tannée, C étant mort le premier, et B vivant encore à la fin de Tannée. Les probabilités respectives de ces événemens sont

Zabc 2abc

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i + f)""*, donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si Tun de cinq différens événemens a lieu : 1°. ou toutes les têtes mourront dans Tannée, C étant mort le premier; 2**. ou A et C mourront dans Tannée, C étant mort le premier et B vivant encore à la fin de Tannée ; 5'. ou A et B mourront dans Tannée, C étant mort dans une des années précédentes: 4°' ^^ seulement A mourra dans l'année, B vivant encore a la fin de Tannée, et C étant mort dans une des années précédentes ; 5". ou seulement A mourra dans Tannée , et B et C seront morts dans les années précédentes ^ C éta?}t mort le premier. Les probabilités respectives

( 245 ) de ces eveneniens sont, pour la seconde année,

(«'__ a") (^ — h") ic—c") {a'— a!') {c'— c")b'

3abc ' labc '

ab