PROBLÈME XLV

509. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la première ou la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A,B,C, et pourvu que G, dans le dernier cas, meure avant B.

(i) Il n'est pas inutile de remarquer ici que la valeur obtenue au moyen de ce problème est égale à la somme des valeurs obtenues au moyen des problèmes XLI et XLII; par là se trouve confirmée l'exactitude de ces résultats et des raisonnemens qui y ont conduit.

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année si l'un de quatre évënemens différents a lieu : i*. ou toutes les têtes mourront dans Tannée, A étant mort le premier; ou C étant mort le premier, B le second et A le dernier ; 2°. ou A et B mourront dans cette année, A étant mort le premier et C vivant encore à la fin de Tannée; 5° ou A et C mourront dans Tannée , A étant mort le premier et B vivant encore à la fin de Tannée; /\ ou seulement A mourra dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin de Tannée. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont

labc ^ labc ^

labc ' ab

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par5(i+p)~"' donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes la somme proposée peut être reçue si Tun de six événemens a lieu: i". ou toutes les têtes mourront dans Tannée, A étant mort le premier; ou C étant mort le premier, B le second et A le dernier; 2**. ou A et

( 25o ) B mourront dans l'année, A étant mort le preniier, et C vivant encore à la fin de Tannée ; 3*. ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le premier, et B étant encore vivant à la fin de Tannée ) 4°- ^^ seulement A mourra dans Tannée , et B et C vivront encore à la fin de Tannée ; 5°. ou A et B mourront dans Tannée, A étant mort le dernier, et C étant mort dans une des années précédentes; 6". ou seulement A mourra dans Tannée et B et C seront morts dans une des années précédentes , C étant mort le premier. Les probabilités de ces divers événemens pour la seconde année sont respectivement

{a'^a").{b'-~b").{c-^c") {d-^d'),{h'—b")d' labc * labc '

labc ' lab *

nab

(-.-)-"-if(-S(-r)

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)"^*, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. Delà même manière, nous pouvons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes jusqu'à Textinction de la plus vieille des têtes proposées; et si ces diverses espérances annuelles sont réduites à leur plus simple expression et disposées les unes sous les autres, elles formeront douze séries collatérales, dont les n premiers termes varieront selon l'âge comparatif des têtes en question.

510. P'' GAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les diverses séries collatérales ci-dessus mentionnées doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, puisque la tête A se trouve impliquée dans chacun de leurs termes; donc leur somme sera égale à s multipliée par

i-çA AB ^^ a^ i-^AC

2(1 -f-§) ""s * * la 2(1 -f-ç)

"^ 2(1+1) ' a "*" 2(H-ç) ' 2(i+çT" • a

+ ABC ,^ + '-±éE^!L^ABpf-^v

' la 2(1 -Hç) b ' ic

expression qui , indépendamment du multiplicateur commun s , peut se réduire à

i^g^A-^ABC) --AC AB

et que je représenterai par j^. Donc quand A est la plus vieille des trois têtes, la valeur demandée est égale 2i s ^ ^.

311. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des

diverses séries collatérales précitées sera égale à

fl-g^;-ic+ri-+5n?x5(.+«-

2(1 +ç) ac

Mais après le décès de B, la valeur des espérances de toutes les années suivantes peut être plus correctement exprimée, comme dans le second cas du prob. XL par

expression qui étant ajoutée à la somme des n premiers termes trouvés ci-dessus, rendra la valeur totale actuelle de la somme donnée , pour le cas où B est la plus vieille des trois têtes , égale à

512. IIP CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

Mais après le décès de C , la chance qu'on a de recevoir la somme désignée à la fin d'une quelconque des années suivantes dépendra de l'un de deux évé-

( 253 ) neniens : i ". ou A mourra après B dans lannée; 2\ ou seulement A mourra dans Tannée, B étant mort après C dans une des années précédentes. La somme des espérances relatives à cesévénemensadéjà été trouvée, dans le troisième cas du problème XLII, égale à

, + J^ «^ , ^2(1-; «) • ab ^ ^•^W

expression qui étant ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées rendra la valeur totale demandée égale à

Corollaire.

515. Quand les trois têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités de la formule représentée par ^ se détruisent mutuellement, et

(i) Il n'est pas inutile de remarquer ici que la valeur trouvée au moyen de ce problème est égale à la somme des deux valeurs obtenues au moyen des problèmes XXTX et XLII % preuve irrécusable de Texactitude de Topération.

( 254 ) l'expression générale devient dans ce cas égale à