PROBLÈME XL VI

514. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A et de B , pourvu que ces deux têtes soient les premières qui s'éteignent de trois têtes données A,B,C.

SOLUTION

Pour qu'on puisse recevoir la somme à la fin de la première année, il faudra que l'un de ces deux événemens ait lieu : i *" ou toutes les têtes mourront dans l'année, C étant mort le dernier; 2°. ou les deux têtes A et B mourront dans Tannée, et C vivra encore à la fin de l'année. Les probabilité^ i^^l^ectives de ces deux événemens sont

^abc * abc

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par s (i-^-p)^' , donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

{ 255 ) Mais, dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si l'un de six événemens différents a lieu: i°. ou toutes les têtes mourront dans l'année, C étant mort le dernier; 2°. ou A et B mourront dans Tannée et C vivra encore à la fin de l'année; 5°. ou A et C mourront dans Tannée, A étant mort le premier, et B étant mort dans une des années précédentes ; 4°- ou B et C mourront dans l'année, B mourant le premier et A étant mort dans une des années précédentes ; 5°. ou seulement A mourra dans Tannée, C vivant encore à la fin de Tannée et B étant mort dans une des années précédentes; 6°. ou seulement B mourra dans Tannée, C vivant encore à la fin de Tannée, et A étant mort dans une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont pour la seconde année

Zabc ' abc ^

lac

ac

expressions, qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(1+/)-"*, donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes jusqu'aux

( 256 ) dernières limites de la vie humaine: el, si Ton réduit à leur plus simple expression ces diverses espérances et qu'on les dispose les unes sous les autres , elles formeront seize series collatérales, dont la somme sera trouve égale à s (^^ •+• B^ — A&^ ).

Corollaire.

515. Quand les trois têtes sont toutes égales , ou du même âge que A , cette expression (d'après ce qui a été dit dans le corollaire du problème XXX) devient

Cigale a ,y x — ^^'— ^7 ^ • c est-a-dire égale au

tiers de la valeur actuelle de la somme proposée,

payable à l'extinction de deux quelconques des trois

têtes données.