PROBLÈME IV

69. Trouver la valeur d'une annuité reposant sui un groupe quelconque de têtes ABC. . . ., après U dissolution d'un autre groupe de têtes PQR ....

SOLUTION

Désignons^ comme dans le n^ 24^ les probabilité que le groupe ABC .... a de subsister i, 2,5. . . . ans

P^'l^T' lïT» "^îr' «* ^«* probabilités que le groDpe PQR.... a' de subsister \, a, 5..... ans',

YJgJw/ W't^t^ rJ^t/'r"'

mt?^^^' ^-^-^, ^-^^, etc. ©i' la chaïuie* ont h^ F9^ P^^ ¥V

groupe ABC a de recevoir Tannuité une année quelcoaque ^ dépendra de son existence à la fin de cette année ^ et de la dissolution du groupe PQR avant la fia de cette même année; lia probabilité de cet évé«

tfielntlentésf , pourla{>rfeiiiîètè année, -^.-^ (^""~'^)'

qui, multiplié par (i+f)""*, donnera la valeur actuelle de la rente de la première année. On trouvera de

même que -—v— ( i — ^—^ — J multiplie par (i+p)—^

désignera la valeur actuelle de la retate de la sôcoAd^

amée, ^*^^^f^(^-^^-^)^ ittuhSplfépar(i-+-f)^%

ceîle^ de la fente de la troisième année ; et ainsi de suite pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; et la somme de tous ces termes, ou la série

1 / dVc' uVc'p'q'y \

(i + f). \ obc abcpqr J

, I fa oc a c p q r\

•* (i ^ff \ abù ""^ abopqi^ J

+ 1 /abc a c p q r\

(* + F) \ ^^^ abcpqr /

+ etc.

sera la valeur totale actuelle de lannuité demandée; Maïs la somm« des colonnes verticales est évidemv-

meut ég^e à 4£€ ^ JBCPQR.

70. D*où il suit que si Ton retranche la valeur d'une annuité sur un groupe composé de toutes les têtes proposées 9 de la valeur d'une annuité sur le groupe des têtes en reversion: le reste sera la valeur de l'annuité en reversion demandée.