PROBLÈME V

71. Trouver la valeur d'une annuité reposant sur un groupe quelconque de têtes ABC. • • , après le der^ nier décès d'un autre nombre quelconque de têtes P, Q, R, . . . .

SOLUTION

Désignons, comme dans le dernier problème^ les probabilités que les têtes proposées ont de vivre i > 2f 3 ^ . • . ans. Or la chance que le groupe ABC a de recevoir l'annuité à la fin d'une année quelconque; dépendra de son existence à la fin de cette année , et de Textinction de toutes les têtes P. Q, R, avant la fin de cette même année. La probabilité de cet

événement est, pour la première année, — ,— Ti— £.j

x(i — — j X (^'^j:\ expression qui, multipliée par (i+f)""', donnera la valeur actuelle de la rente de la première année. De la même manière, — r-~( i — ^)

X^i— |-) X (j—jr) multiplié par (i +p)~% et (i +py^^, désigneront respectivement les valeurs de

la rente de la seconde et de la troisième année; et ainsi de suite pour toutes les années suivantes^ jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la soQime de tous ces termes sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée. Mais ces expressions , développées et simplifiées, sont égales à la série

a'b'c' / ^ p[ y / pY pv gv /.y/ \

id}c(i+f)\ p q r B^ pr qr pqr )

■ a^b^c" / f q" r" pY , p'^r" qV' pYr'\ obc{i-\'f)*\ P q ^ pq pr qr pqr )

aôc(i+f)'\ pqr ^q^ pr qr pqr ) + etc.

dont la somme est évidemment égale à APCr-^ABCP - ABCQ — 4BCR ■+- ABCPQ + ABCPR + ABCQR — ABCPQR.

72. D'où suit que la valeur d'une annuité en réversion sur un groupe quelconque ABC . • • . , après le dernier décès d'un autre nombre de tètes P, Q, R, . . . est égale à la valeur d'une annuité sur te groupe de toutes les têtes en re version , moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de tètes provenant de la combinaison de toutes les^ tètes en reversion avec les autres têtes une à une , flus la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têlës provenant de la combinaison de toutes les têtes en reversion avec les autres têtes deux à deux, moins, la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la

âe taates ^les tètes en reYesmo «m les autres tiles trak à trois , et ainsi et snîie.

75. TrQuyer la ▼alenr d'Anne annnité payable ymr qu'au dernier décès d'un nombre quelconque de tètes A, B, C, . • • • après la dissoluticm ^^n groupe quelconque d'autres têtes PQR« . • .

sounioiT.

La diauGp qu'une qudconqœ des tètes A^ $^ (^ a de recevoir Fannuité à la fia d'une année qacJr conque, dépendra de l'existence de l'une d'elles^ à la fin de cette année, et de la disscdution d« groapê P(^. ... , avant la fin de cette même année. Ia probabilité de cet événement est , pour la preœièie

X (i -^^^r> V^^f multiplié par (i + /)"'; dpn-f

$iep9 .la valeur ^ptneUe d^ 1^ p?ente dç U fPEt3i9iè90 9PPf9?. Pe 1^ jptiêi^e ma^îeDe, on ti^iiiiver» qitfi