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multiplié |)ar ( i •+- />)""% et que T^ "^ {^i "^ ^J

^r (i + f)*^, donneront respectivement la valeui actuelle des rentes de la seconde et de ia troisrioM «usées ; et aînçi de suite pour >tputes tes années sui-

( 55 ) vantes Jusqu'aux dernières liimtes île la vie hmuaiae i et la somme de tous ces fermes sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée. Mais si l'on développe et simplifie ces diverses espérances annuelles , et qu'on les dispose les unes sous les autres^ P comme dans les problèmes précédens ,. elles fbrme- ^ ront quatorze colonnes verticales dont la somme sera trouvée égale à ^ + 5+ C—^^ — ^C— ^C+ ABC-^ PQRA^ PQRB-^ PQRC+PQRAB ^PQRJC + PQRBC — PQRABC.

74. i>V>ji il SHÎf que la valeur d'une annmté ea mersTOu, payable jusqu'au dernier décès d'un; nombre quelconque de tétea après la dissolutiiom d'un groupe quelconque d'autres tètes ^ est égale à la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier dé-^^ ces de toutes les tètes en réversion; moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de tètes provenant de la combinaison de toutes Les têtes en possession avec les autres tètes une à une; phis l^t somme des valeurs d'une annuité sur tou$ les gfO^pes de têtes provenant de la combinaison de toutes les têtes en possession avec les autres têtes ifssçL à 4e3ix ; moins la somme des valeurs d'une annuité ^ur tous les groupes de têtes provenant de la com|)iaaisQn de toutes les têtes en possession avec ^ WXVGS tètes trois à trois j, et ainsi de suite.

PROBLÈME Vn.

75. Trouver la vakur d'une ananîté payable jus^ <pi'iii dernier déeès d'un nomhne quelconque dfs tèjtes

Ây B^ C^ • . . . après le dernier décès d'un autre nombre quelconque de têtes P, Q , R , . . . .

SOLUTION

D'après ce qui a été dit dans les problèmes précedens, il est évident que l'annuité en question doit courir jusqu au dernier décès de toutes les têtes désignées par A, B, C, P, Q, R ; et l'on n aurait aucune autre chose à considérer, si les têtes A, B, C, devaient entrer immédiatement en jouissance. Mais comme elles ne doivent rien recevoir pendant l'existence de l'une quelconque des têtes P, Q, R, oa doit nécessairement retrancher la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de ces têtes, de la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de toutes les têtes impliquées dans la question. Le reste sera la valeur de l'annuité demandée*

Scolie.

76. Au moyen de ces quatre problèmes , on peutrêsoudre toutes les questions sur les annuités en rever^ sion. Je lésai traités avec étendue, pour ne rien laisser à désirer, mais on verra aisément qu'ils comprennent beaucoup de combinaisons qui ne se rencontrent ja^ mais dans la pratique , et au milieu de règles et de formules aussi compliquées, une prompte solution ne se présenterait donc pas immédiatement. U est bien rare que plus que trois têtes se trouvent impliquées dans des questions de ce genre : afin donc que pour i^soudre ces questions on ne soit pas obligé d'avoir

(57) ecours aux problèmes généraux , j ai réuni tous les as possibles où il ne s'agit pas de plus de trois têtes^ t j en ai donné la solution algébrique^ en conservant Jf B^ Pj Qj la signification donnée à ces caractères [ans les problèmes précédens. Ces questions sont au Lombre de cinq ; on peut avoir à trouver la valeur lune annuité:

i*. Sur une seule tête A, après un autre tête P: lans ce cas, la valeur de Tannuité en reversion est

2"". Sur une seule tête A ^ après le dernier décès de a têtes Pp Q: Dans ce cas^ la valeur de l'annuité en reversion est^ — JP — JQ+JPQ.

5®. Sur la dernière vivante de deux têtes A, B, après une seule tête P : dans ce cas^ la valeur de l'annuité en reversion eslA-^B—JB—JP—BP-^-ABP.

4** Sur une seule tête A, après la dissolution d'un groupe P Q : dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion est égale à A — APQ.

5^ Ou enfin sur le groupe A B, après un seule tête P: dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion est ^B^ABP.

Voyez les exemples de ces difFérens cas , aux questions XIII et XVII du chapitre XII.

Corollaire i.

77. Si l'annuité ne doit pas courir pendant toute 'existence des têtes proposées, mais est ou difierée ou temporaire , nous devons nous référer à ce qui a été ^tau prob. I cor. 5 et 4; eo faisant quelques substitutions, qu'indiquera suffisamment l'énoncé du pro-

blême ^ on appliquera la r^le gënërale que j y ^^ donnée ^ à la question proposée d'une annuité eB réversion.

Mais cette règle peut devenir d'une application pli^^ facile si Ton fait usage des principes du prob. II, cor. ^ et 4- ^insi^ dans le premier cas du scolie n"* 76 «^ l'annuité est différée de n années , sa valeur sera

El cette valeur retranchée de ji — jiP donnera la va leur d'une semblable annuité en reversioa temporaire On résoudra de la même manière toutes les autre questions du scolie.

Vojrez, pour l'application de ce corollaire, le questions XVIII et XIX du chapitre XII.

CoroUqire 2.

78. Si une annuité en reversion, dont la jouis sance est différée d'un nombre quelconque d'années dépend encore de l'existence simultanée de toute les têtes à l'expiration de ce délai, sa valeur ser égale à celle d^une annuité en reversion reposant su un même nombre de têtes plus âgées chacune que le têtes proposées d'un nombre d'années égal à ce delà

(1) D'après la méthode de de'signation que j'ai employa dans tout le cours de cet ouvrage ^ on verra aisément que désigne ici le nombre de vivans à un âge phis élevé de n ai nées que celui de P.

3liée par la probabilité que le groupe des têtes sées a de subsister à l'expiration de ce délai ^ et ) par la valeur actuelle de i fr. payable à la même e. Et Ton doit distioguer soigneusement cette on de celle qui a fait l'objet du dernier corollaire. rez pour l'application dis ce corollaire , le scolie ]uestion XIX au chapitre XII.

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