PROBLÈME VUI
80. A, B, et C conviennent d'acheter une anouilé payable jusqu'àleur dernier décès, annuité qu'ils partageront également entre eux durant leur existence simultanée, qu'au décès de l'un deux, lesdeuxsurvivans se partageront encore également, et dont enfin le der-
X2ier vivant jouira seul jusqu'à son décès: trouver la i^aleur de leurs qupte-parts respectives ^ pu la pro- )ortion dans laquelle chacun d'eux doit contribuer à achat.
SOLUTION
Désignons^ comme au n* 25 ^ les probabilités qu^ont es têtes proposées de subsister i , 2 , 3, • . ans ; et ocupons-nous d abord de déterminer la quote-part de A. )r, l'espérance que A a de recevoir quelque chose à a fin d'une année quelconque peut être considérée de [oatre manières ^ con^me dépendant d'autant d'événeaens différens: 1® A^ B et C peuvent subsister. tous es troisy événement dont la probabilité est à la fin de
a première année —r — - dans ce cas il recevra le tiers
le l'annuité, ou y (i +?)""'; donc (i +p)~' X 3^^
;era la valeur de c^tte espérance. 2* A et B peuvent ^treivjvans, et C mort, événement dont la probabilité est pour la première année ^—r X Ti — —) : dans
ce cas il recevra la moitié de l'annuité , ou — ( i+p)~';
donc(iH-p)""^ X — T X \\ ^J sera la valeur de
cette espérance. 5* A et C peuvent être vivans et B mort, événement dont la probabilité est à la fin de
la première année — X T^ — T")' ^^^^ ce cas, il recevra également la moitié de l'annuité, ou — (i-f-^)-' Donc(i+f)'"' X-^ X ^1 — "jA sera la valeur de
(60 cette espérance. 4'' A peM ^tM* lar si^tile péfsoiiBe vi« vmle ^ évéaeniétit dMit k fi^haUiîté eM ]^o«i^ k ^
mière année — xf i — î^jX^i — -^Ji dans ce casi! recevra Tannuité entière y ain»
(.+prx^x(.-f)x(.-f)
sera la valeur de cette espérance. Et fa sôïnme de tùvMê
ces valeurs, ou (i+p) X (j— iiJ-^+ â^)
sera la valeur totale de Tes^t^tice^ dd A penr f apfwttt à la rénfe de k première aftnée.
En raisonnant dé là même mamire^ ùû trouv<0i«qi0
là Valeur de son espérance pour la seconda année, et (»+f)-'x(^~^5j^-^+ 3^) la valeur de
son e&pâ^ance poinr k tVc^isièiinéf ânnée^ et aifiii â* suite jusqu'aux dernières limites, de la vie humain^;. La somme de tous ces termes , ou la série
+ (i+p) »x(^ — ^-^is+isr;
+ etc.y etc. , etc.
sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité^ ou la quote-part qu'if dok payer pour contribuer à Tachât*
(65) Or la somme des diverses séries verticales est égale
81. Quant à la part de B Ou de C, il est évident que Tespérance qu'ils ont de recevoir l'annuité une année quelconque, dépendra des mêmes événemens, mutatis mutandiSj que celle de A : d'où il suit qu'en fiûsaut les substitutions nécessaires à la formule gé-»- Qi^raleci^essus, nous aurons Jff-—J-r^5^J5CÏ4-|-^fiC j^ur la valeur de la part de B; et C — \ÂC^^^BO +^ÂBC pour la valeur de la part de C dans l'annuité proposée : d'où la règle suivante qui s'applique à Tune quelconque des trois têtes.
82. De la valeur d'une annuité sur la tête proposée , retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec chacune des autres. Ajoutez au reste le tiers de la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes; la somme sera la valeur demandée.
85. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, Soet 40 ans; que l'intérêt soit de 4p« 100 et la niortalité conforme aux tables de Northampton. Alors si Pon consulte les tables qui sont à la fin de cet ouvrage^ on trouvera que la part de chacune des trois têtes dans cette annuité sera : celle de
Br:i4,58i—^ (11,8734-10,490) +3X6,086w!6, 595 ^•3, 197-4 (»o»924+i8,49o) 4-5X 8,986=5,485
Et la somme de ces parts respectives, ou 19,710, est la valeur d^une annuité payable jusqu'au dernier décès des trois têtes, ou la valeur totale.de l'achat.
Corollaire i.
84. S'il ne s agissait que de 2 têtes , A et B , l'annuité devant être également partagée entre elles pendant leur existence simultanée pour appartenir en totalité au dernier vivant , la valeur de la part de A sera A — 7 AB y et celle de B sera B — \ AB ; d'où la règle suivante pour deux têtes.
85. De la valeur d'une annuité sur la tête proposée, retranchez la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe des deux têtes, le reste sera la valeur demandée.
Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question XX du chapitre XII.
Corollaire 2.
86. D'un autre côté, quel que soit le nombre des personnes intéressées dans l'achat, il sera facile de déterminer la part d'une tête quelconque, pourvu que l'annuité soit toujours également partagée entre lessurvivans. Soit en effet G la valeur d'une annuité sur la tête proposée; C la somme des valeurs d'iineannuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec les autres têtes une à une; G" la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de U tête proposée avec les autres têtes deux à deux, et ainsi de suite. Alors G — 1 G'+i G"-^ ^ G'''^- etc-
lÀigoera la part de la tête proposée, ou la sonilne ja'elle doit payer pour contribuer à l'acHat.
