PROBLÈME IX
87. A^ B et C conyiennent d'acheter Une annuité [>ayabie jusqu'à leur dernier décès ^ annuité qui doit être partagée entre eux de la manière suivante. A et B la partageront également pendant leur existence simultanée^ mais au décès de l'un d'eux, elle sera également partagée entre le survivant et C ^ pour appar*tenir enfin en totalité au dernier vivant. Trouver la valeur de leurs parts respectives.
SOLUTION
L'espérance que A a de recevoir quelque chose à la fin d'une année quelconque ^ peut être considérée de trois manières , comme dépendant d'autant d'évé- Qémens differens. i*". A et B peuvent être tous deux Viyans, événement dont la prohabilité est, à la fin
tir
de l'année y —j-y dans ce cas il recevra la moitié de"*
l'annuité. 2*. A et C peuvent être vivans, et B mort, événement dont la probabilité est , pour la première
année ^^ X v^-^'Â")^ ^^^ ^^ ^^ ^ recevra aussi la
moitié de l'annuité. 3*. A peut être le seul vivant, événement dont la probabilité est, pour la première année, j X (*~*r") X (^""c)' ^^°^ ce cas
il recevra toute l'annuité. Et la sonjme de toutes ces T. I. 5
Yaleurs, multipliée par (i + f)""% donnera (i+p)'^
fd dV nV , dVc\ I , ^ ,^
V ( — — — 7 f- — 7- ) pour la valeur totau
de l'espérance de  par rapport à la rente de la première année.
Par un raisonnement semblable nous trouverons la valeur de son espérance pour les seconde, troi' sième 1 etc. années , jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes, 00 la série
( -L. ^-' /g a'b* de dh'c'\
H- (iH-f)"*X (^^ Tt^^^^^l^cJ
-l /^ 1- ^-8 CL ^*^ a^c" d'b''c''\ H- (ï -t- f ; X Va "" ^ab "~ lac ^ 'l^b^)
+ etc., etc.
sera la valeur totale de son intérêt dans cette annuité Mais la somme des colonnes verticales est évidein ment J — ^JB—^JC^+'i ABC; d'où nou déduisons la règle suivante :
88. De la valeur d'une annuité sur la tête Â, xt tranchez la moitié de la somme des valeurs d'uo annuité sur les groupesÂB etÂG ; ajoutez au reste la vs leur dune annuité sur le groupe ABC; la somm sera la part pour laquelle la tête A doit contribuer l'achat.
89* Quant à la valeur de la part de B, il est évi àmX que son espérance pour une année quelconqu
(67) dépendra des mêmes évéoemenç^ jnuta(is mi^tandi^^ que celle de A ; donc en faisant les substitutions nécessaires dans l'expression générale ci^^lessus, nou3 aurons B — jjàB — { BC^i ABC pour la valeur de l'intérêt de B dans cette annuité. D'où la règle suiyante :
De la valeur d'une annuité sur la tête B, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes AB et BC; ajoutez au reste 4a moitié de 1^ T^eur d'une annuité sur le groupe ABC; la soipme sera la part pour laquelle la tète B doit contribuer à l'achat.
91. A l'égard de la part de C, on verra que son espérance pour une année quelconque peut être considérée de trois manières^ comme dépendant d'autant devéneniens différons, y** A cit C peuvent être vivans et B mort , événemeot dont la probabilité est pour
U première année -^x (i — -r-j; dans ce cas il
recevra la moitié de l'annuité. :i* B et C peuvent être vivans et A mort^ événement dont la probabilité est
pour la première anuée r~x(ï*^"~}j ^^"s ce
ca$ il recevra aussi la moitié de l'annuité. 3* G peut itre le seul vivant , événement dont la probabilité à la fin de la première année est
dans ce cas il recevra la totalité de l'annuité. Doue la
somme de ces valeurs^ multipliée par (i-|-p)""%
donnera ( i +f )- ' x (^ - ^ - ^) pour la va^
Jear totale de l'espérance de C par rapport à la rente de la première année.
En continuant le même raisonnement ^ noos trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes^ jusqu'aux dernières limites de la vie bnmaine. La somme de tous ces termes donnera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité^ et sera évidemment trouvée égale à C — \AC — \BC; d'pù la règle suivante :
92. De la valeur d'une annuité sur la tête C, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes AG et BC; le reste sera la part pour laquelle la tête C doit contribuer à l'achat.
95. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20 ^ 3o et 40 ans; que l'intérêt soit de 4 p* 1 00 ^ et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chacune des trois têtes ^ dans cette annuité, sera : celle de
A=i6,o53— ^(i 1 ,875-f-io,924)+ix 8,986=9,1 27 B=i4,78i - ^(i 1 ,875+1 0,490)+ Jx8,986=î8,o93
«t la somme de] ces trois valeurs est celle d'une an nuité payable jusqu'au dernier décès des têtes pro poséas.
