PROBLÈME X
94. A, B et C conyiennent d'acheter uoe annuité payable jusqu'à leur dernier décès ; annuité qui doity être partagée entre eux de la manière suivante. A et B en jouiront également pendant leur existence simultanée; si A meurt le premier^ B et G se la partageront également pendant leur existence simultanée , et le dernier vivant en aura la totalité ; mais si B meurt le premier, A aura pendant toute sa vi^ la jouissance de la totab'té, qui sera réversible sur C après le décès de A. Trouver la' valeur de leurs parts, respectives.
SOLUTION
L'espérance que A a de recevoir quelque chose a la fin d'une année quelconque , peut être considérée de deux manières, comme dépendant d'autant d'événemens différens , i®. A et B peuvent vivre tous deux, événement dont la probabilité , à la fin de la première
année ^ est --r- ; ^ans ce cas, il recevra la moitié de
l'annuité; a*. A peut être vivant et B mort, événe-r ment dont la probabilité , à la fin de la première
année, est —X (^""^"â)^ ^^^^ ^® ^^^ ^^ jouira de la totalité de l'annuité. La somme de ces deux var* leurs, multipliée par ( i + f )"** donnera • .
(i + f )^' X f ^ — ^ ) pour la valeur totale de l'es^
pérance de A par rapport à la rente de la pre-v mière année.
(7*) En continuant ce raisonnement , nous trouverons la valeur de son esperatlcë {^our toutes les années suivantes , jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes sera la Valeur totale de son wtérêt dans l'annuité , et sera trouvée égale à ^ -— " I AB ; d'où la règle sui vsuite :
95. De la valeur d'une annuité stir la tète A^rt* tranchez la moitié de la Valeur d'une «nnoîté sur le groupe AB; le reste sera la part pour laquelle A doit contribuer à l'achat*
96. Quant à la {lart de B, <ma doit obsisrver ^que l'espérance qu'il a de recevoir quelque cbose à k Se d'une année quelconque, peut être con&îd^fée ée trois manières , comme dépendant d'autant d'événemens différens; i*. A et B peuvent vivre tous deux^ évëMhxent dotit là probabilité , à la fin de la pre-
mière année , est --t- ; dans ce cas, il i^cevra Ja moitié de l'aûnuité j û"*^ B et C pfeuVe«ft être tîvâïis et A mort y événeme&t dont la probabilité, k )a Hh At
k première antiée, e^ ^ X (^•^^)5 dïiûs trè cas
il wcev-rti atissi la moitié de l'èrtinuîté. *5*. B peut étreie seui vivatit, événemetit ^tit la ptôbabilîté,
i la fin 'dé la première aimée, te^ -- X (t — -)
X (i*^ ^j ; dans et fcàs il jouira àe la totalité àe
l'annuité. Et la somme de toutes ces valeurs , muiti-pltée^ar (i -4- /»)~% flôùnei^a
(7» ) pour la valeur totale de l'espérance de B par rappwti^, la rente de la première année.
Par un raisonnement semblable , nous trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années soivantes^ jusqu'aux dernières limites de la vie huloaiae. La somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité , et sera évidem«meot trouvée égale kB-^^AB ^'-BC^\AB€.
D*où la règle suivante :
97. De la valeur d'une annuité sur la tète B , retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les deux |^oupes AB et BC; ajoutes au reste la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe ABC ; la somme sera la part pour laquelle B doit contribuer à Tachât.
98. Reste maintenant à déterminer la part de C ^ dont l'espérance, par rapport a une année queleou- ^e^ peut être considérée de deux manières, i®. B ^ C peuvent être vivans et A mort, événement dont la probabilité , à la fin de la première année , est
"A X v^*"^^)» ^^^^ ^® ^^ '^^ recevra la moitié de lannuité. a°, C peut être le seul vivant , événement idout la probabilité , à la fin de la première année , est
^ X 0'^""vX(i'~T")î dans ce cas il recevra la
totalité de l'annuité. Et la somme de ces deux valeurs , multipliée par (i 4- ?)"*% donnera
/ . ^-. /^^' ££ *!fl i l*^^
(7») pour la valeur totale de Tesperance de C par rap^ port à la rente de la première année.
Par un raisonnement semblable , on trouvera la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes exprimera la valeur totale de son intérêt dans lannuité, et sera évidemment trouvée égale à C^JC^i BC^JBC. D'où la règle suivante.
99. De la valeur d'une annuité sur la tête C , rc tranchez la valeur d'une annuité sur le groupe AG , et la moitié de la valeur d'une annuité sur le.groupe BC ; ajoutez au reste la moitié de la valeur dHme annuité sur le groupe ABC. La somme sera la part pour laquelle C doit contribuera l'achat.
100. Exemple. Supposons que les trois tètes soient âgées de 20 , 3o et 40 ans ; que le taux de l'intérêt soit de 4 P- 1 00 6^ 1^ mortalité conforme aux tables àt Northampton. La part de chaque personne dans cette annuité sera: celle de
A=i6,o35-' X I i^SyS = lo^ogf
Et la somme de ces trois valeurs est la valeur d'un< annuité payable jusqu'au dernier décès des têtes proposées.
