PROBLÈME XII

107. A , B et Cconviennent d'acheter une annuité payable jusqu'à leiH^niier décès, annuilédont ils doivent successivement posséder la totalité ; c'est-ànlire (fàé A en jouira toute sa vie; après son décèsy B «b héritera , et C enfin la possédera jusqu'à son décès ^ Trouver leurs parts respectives.

^«ftixrioN.

La^v^leur deTîntérèf (le À dans cette anniûfé^ ou la part pour laquelle il doit contribuer à Tachât, est évidemment égale à la valeur d'une annuité reposant sursa fêle ; c'est-à-dire égale à j4.

10!^. lia valeur de Tintérêt de B , ou la part pour laquelle il doit contribuer à l'achat, est égale à la Vâfetir d'une annuité en reversion sur sa tête, ^pvi^ft

(76) le décès de A : c est-à-dire (d'après le scolie da n* 76) égale à B — AB.

109. La valeur de l'intérêt de C , ou la part pour .e laquelle il doit contribuer à Tachât , est égale à la valeur d'une annuité en réversion sur sa tête après l'ex- j tinction des deux têtes A et B , c'est-à-dire (d'après le ^ même scolie) égale à C—AC-^BC+ABC. . ^

110. Exemple. Supposons que les trois têtes soient ^ âgées de 20^ 3o et 40 ans, que le taux de l'intérêt soit ^ de 4 P* 100 et la mortalité conforme aux tables de !^ Northampton. La part de chaque personne dans cette ■ annuité sera : celle de ^

Et la somme de ces trois valeurs sera la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès des trois têtes.

Corollaire.

111. S'il ne s'agissait que de deux têtes, A et B, les valeurs de leurs parts respectives seraient préa^ sèment les mêmes que celles cinlessus.

PROBLÈME Xin.

112. A , B et C conviennent d'acheter une annuité reposant sur l'existence de deux quelconques d'entre eux, et qui doit être également partagée entff eux tant qu'ils vivront; mais au décès de l'un d'eui

( 77 ) 3ra également partagée entre les deux survivans

mt leur existence simultanée^ Trouver la valeur

irs parts respectives.

SOLOTION.

ispérance de A, par rapport à la rente d'une 3 quelconque, peut être considérée de trois mas. I* A, B et C peuvent être tous vivans : dans 5 il recevra le tiers de l'annuité. 2* A et B peuêtre vivans et C mort; dans ce cas il recevra la ié de l'annuité. 5" A et C peuvent être vivans et nrt ; dans ce cas il recevra aussi la moitié de Tanî. Bonc la somme de ces espérances pour les lière, seconde, troisième, etc., années, jusqu'aux ières limites de la vie humaine , sera la valeur ' e de la part de A dans cette annuité. Mais la vade ces diverses espérances a déjà été trouvée lasolution du problèmeVIII^ puisqu'elles sont pré- Dent les mêmes que les trois premières dont traite roblème; et leur somme, pour toutes les années ï vie humaine, sera trouvée égale à ^ AB-^^AC ABC.

13. Quant à la part de B ou C, leur espérance rapport à la rente d'une année quelconque déd des mêmes événemens mutatis mutandis^ que s de A : d'où il suit qu'en faisant les substitutions essaires à l'expression générale ci-dessus, nous pns i^^5+ ^BC^\ ABC, pour la valeur de lérét de B , et i ^C+ i i5C— \ ABC pour la yar de l'intérêt de C dans l'annuité proposée; d'où

la règle suivante pour détermioer la part de IW quelcoaque des trois têtes données.

114. Retranchez les deux tiers de la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes , de la demisomme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec chacune des deux autres ; le reste sera la part pour laquelle cette tête doit contribuer à Tachât.

115. Supposons que les trois têtes soient âgées de no^ 3o jet 40 ânsj que l'intérêt soit de 4 P* lOOf <i la mortalité conforme aux observations de Northanpton. La part de chaque personne dans cette lannuite sera :

celle de A=;^(i 1,873+ 10,924)— 3X8,986=5,408 B=i(i 1,873+10,490)— 1x8,986=5,191 €=^(10,934+10,490)— 1x8,986=4,716

Et la somme de ces trois valeurs, où i5,3i5 est k valeur d'une annuité reposant sur l'existence de devs quelconques des trois têtes données.

PROBLÉlidE XIV.

116. A , B et C conviennent d'acheter une annuité reposant sar l'existence de deux quelconques d'entre eux, et qui doit être partagée entre eux de la manière suivante : A et B en jouiront en portions ^les durant leur existence simultanée , mais à la pnort de

(79) TuDdeuxy elle sera également partagée entre les deux survirans pendant leur existence simultanée ; trouver leurs parts respectives.

soLUTiorr.

L'espérance de[A par rapport à la rente d une année quelconque peut être considérée de deux manières. I* A etB peuvent vivre tous deux; dans ce cas il recevra la moitié de Tannuité. 2** A et C peuvent être vivans et B mort; dans ce cas il recevra aussi la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces espérances pour les première , seconde, troisième, etc., annéesjusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera la valeur totale de la part de A dans l'annuité. Mais la valeur de ces diverses espérances a déjà été trouvée dans la solution duprob. IX, puisqu'elles sont précisément les mêmes que les deux premières dont traite ce problème; et leur somme, pour toutes les années de la vie humaine, sera trouvée égale à l AB+ ï AC — ~ ABC: d'où la règle suivante :

117. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC, de la somme des valeurs d'une annuité sur chacun des deux groupes AB et AC : la moitié du reste sera la part pour laquelle A doit contribuer à l'achat.

118. Quant à la part de B, il est évident que son espérance par rapport à la rente d'une année ^eleonque dépend des mêmes événemens, mutMis mutaruUsj que celle de A : donc en faisant

( 8o ) les substitutions nécessaires à l'expression générale ci-dessus, nous aurons ju^B-^^BC — ^j4BC^ut la valeur de l'intérêt de B dans l'annuité; d'où la ^ègle suivante :

119. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC de la somme des valeurs d une annuité sur chacun des deux goupes AB et BC; la moitié du reste sera la part pour laquelle B doit contribuer à l'achat.

120. Mais quant à la part de C , on verra que son espérance par rapport à la rente aune année quelconque, peut être considérée de deux manières ^ I*. A et C peuvent être vivans et B mort; dans ce cas, il recevra la moitié de l'annuité; 2^. B et C peuvent être vivans et A mort ; dans ce cas aussi il recevra la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces deux espérances, pour les première, seconde^ troisièîhe , etc. années , jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , sera la valeur totale Je l'intérêt de C dans l'annuité. Mais la valeur de ces espé' rances a déjà été trouvée dans la solution du iprO' blême IX, puisqu'elles sont précisément les mêin& que les deux premières dont traite ce problème i l'article de part de C; et leur somme, pour toutei les années de la vie humaine, sera trouvée égali à LJC+^BC— ABC : d'où la règle suivante :

121. Retranchez la valeur d'une annuité sur 1< groupe ABC de la demi-somme des valeurs dW

(81 ) annuité sur les deux groupes AG et BC ; le reste sera la part pour laquelle C doit contribuer à Tachât.

122. Exemple. Supposons que les trois tètes soient âgées de 20^ 3o et 40 ^^^^> <iue le taux de l'intérêf soit de 4 p* 1 00 et la mortalité conforme aux tables de Nortkampton ^ la part de chaque personne dans Vannuité sera:

celle de A =-(1 1,87 5-+-i 0,9^^4— 8,986)=6,9o5,

B =:i(ii,873rhio,490--8,98Ç)=6,689, C = i(io,924Tfri.o,49o)— 8,986=1,721 ,

et la somme de cqs trois valeurs est la valeur totale dune annuité réppsaht sur rèxistehcé dé deux quelr conque des trois teles proposées.