PROBLÈME XV
125. A. B et ^iG conviennent cf acheter une ao^ nnité reposant ^^kl^xiàùsnefe ^è deux- quielconqueis d'entre eux, et qui sera partagée entre eux de :1a manière suivante : A et B doivent en jouir par portioris égalés dtHi^f leiir existence siihultanée; ii A meurt le pïeinîiirV.B lét^C en jouiront par portions ^es durâiîtléut*^ existence simultanée; maî^ sI'B meurt le jirémier , A en possédera là' totalité pëti-^ dant Texistence simultanée de A et de C : trodvér leurs parts respectives. ^, .
(L'espéranoe<^'de A pan rafppor^ là la rente d'une
ainiéeqiieloôùqne peut être considérée de deux mar T. I. 6
.(80 pières^ i"". Â et B peuv^ot être tous deux yivans, évéoeitieal dout la probabilité , à la fin de la pre-
mière iiiinë6> e»t -^; dans pe ca^^ il recetcsii la
moitië de rannuitëj i®. A et C peuvent être yivÎEinâ^et B mort/ ^éAémeiit dont la 'probabilité /à
la fin de la première année , est — x ( ^ ~~ r 1 î
dans ce cas i]( recevra la totalité de l'^innuité^ Lasooifne de ces deux valeurs, multipliée par (i+f)""*, don-
dera ( i + f )-• (^^ + — + -^^) pour la valeur to-
talé de Téspépance de A par ïtapport à la rente de If première année.
rar un raisonnement semblable • nous trouverons la valeur de son espérance pourjes seconde ^ troisième , etc. années jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : la somme de tous ces termes sera U valeur totale de son intérêt dâjiis l'annuité, âilera tfOfivée égialeà \AB^ACj'rr^ABCyékiÀ\ laii^le siiivânte ; ">" "- ' '• «•" ■■:o .•• u^
/, 424. Ajoute^ la moitié d^Ja yaJ^fN d'^f^e 9n^^it^ çij/C Iç grqijpe A?i \ ïa vajeur ^'uijlç; ji^nnuiijé s^^rie j^rçupje AÇ ;, rçtiff^ç^çl^çz dw reçte la yp^eur ^'unq ^• îflii.^ WE^: S?foups A?Ç;;]Ç veste SÇS^ 1^ yf^Wd?
^vBw^dç A.. . ,,,.. .,,,.. ^..,. ,;;•., . -,.,..
125. L'espérance de B par rapport à la rente d'une année quelconque peut êthë considérée de deux manières^ 'I^ A et B. .pcflifvent'4tr6 tous deux yivabs, érénaiMlBt dont la; prohabâilé^ a Ifi fia de Ja)'fimr
( 85 ) mière année ^ est --ri dans ce cas^ il recevra la
moitié de l'annuité; ^•. B et C peuvent être vivans ^ A mort , événement dont la |m>babiKté , à4a fin
de la première année , est -r— X fi ji dans ce
cas, il recevra également la moitié de' l'atiiifiité. DoQC la somme de ces deux valeurs , multipliée pae
(i+p)-, donnera (i+p)- x (^l-f-^— |i^)
pour l'espérance de B par rapport à la rente de la première année.
On trouvera de la même manière la valeur de son espérance pour toutes lés années suivantes de la lie humaine; la somme de tous ces termes s^ra la valeur totale de son intérêt dans F^nni^té^et^ser^ trouvée égale a ^ (JB + 80-^ ABC) : d'où la règle suivante :
126. Retranchez la valeur d'une annuité ^c le groupe ABC de la spmme i3ie& valeurs d'une annuité suf lès deux groupes AB et BC ; la moitié du reste S6ra là valeur de la part de B.
127. Quant à la part de C , dn voit qu'elle n'est autre chose que la moitié de la valeur d'une annuité en reversion sur le groupe BC, après l'extinction de A ; cette annuité en reversion a été trouvée égple à {(BC^ABC), d'après le scolie du n* 76; d'o^ la têglè sraiyànfe :
1S^« * B£t|>çLach!BZ la, valeur d'une annuité stir le
g^upft A^^ 4^-1 la -valeur d'tttie-'aàntiité sur le
grôupp BC ; la moitié du reste sera la valeur cle la part de C.
129. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20 , 3o et 40 ^ns ; que l'intérêt soit de 4 p- 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chaque personne dans l'annuité sera :
telle de A == i X 1 1 ,873-1-1 0,924 — 8,986=7,874 ,
B =i X (i i,8734-io,49o-8,986)=6,689 ,
et la somme de ces trois valeurs sera le prix total de Famiuité proposée.
