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Corollaire 3.

195. Si la chance dont dépend la jouissance Je l'annuité est différée d'un nombre d'années w, la série exprimant la valeur générale de l'annuité perpétuelle enreversion nedoît commencer qu'aprèsce délai pour continuer alors jusqu'à l'infini ; c'est-à-dire que la série

«>'v^ aW ^JTfy"

désignera la valeur de l'annuité demandée , dont on .entrerait en jouissance si l'une des tètes proposées venait à s'éteindre après la w^'"*' année. Or cette série peut se décomposer en deux autres :

la première de ces séries est égale à (i + f)""" X 'f

et la dernière est, d'après le prob. I, cor. 3, égale à — (i + f)-" X J'*B''C\ Donc la valeur de l'annuité demandée serait égale à ( i + p)~" x ( - — ji^B'' C)

si l'on était certain que les têtes proposées dussent atteindre la fin de la w*^"' année ; mais comme la

probabilité de cet événement est ^, nous devons

multiplier par cette quantité l'expression ci-dessus pour obtenir la valeur demandée. Cette valeur est

(15.) donc égale à

Mais ^•^«C** X ^(t 4- p)"""est , d'après le prob. I, corol. 5, égal à {ABCy; la valeur ci-dessus devient donc ^ (i + /)•"" X - — (^5C)^ : d'où la règle suivante :

194. Multipliez l'espérance que les iétes proposées ont de recevoir i fr. à la fin du délai fixé par la valeur de l'annuité perpétuelle ; retranchez du produit la valeur d'une annuité différée du délai fixé sur les têtes proposées : le reste sera la valeur demandée.

Corollaire 4»

195. Si la chance dont dépend la jouissance de l'annuité est temporaire^ c'est-à-dire si nous avons à déterminer la yaleur de ces sortes d'annuités qui dépendent de l'extinction des têtes proposées, pourvu que cet événement ait lieu dans un certain laps de temps 71 ; la valeur de l'assurance sera exprimée par la série

a'b'c' aVc' a^'yc"

abc . abc . abc y

éi&y mBy etfiy i

abc . abc . abc

Car la rente de la n*^"' année et toutes les suivantes dépendant de l'extinction des têtes proposées dans

l'espace de H années, il est évident que toutes ces rentes consécutives doivent être multipliées par le

facteur commun M — ~â^}* ^^^^ ^^^ ^ premiers

termes de cette sériesont égaux h-^ — ^ {ABC)*\

comme nous Ta vous trouvé par le corollaire 2 ; et les termes restans sont égaux à

(i— ^)x(i+ç)-xc(i+cr+(i+<)-+{i+cr'+....ooj

=(-^)>«'+«>-xr

Bouc la valeur totale de la série devient

izi!±in! ^^5C)' +^" --î|(,+P)-- X ^,-

expression qui, puisque {ABC)' = ABC — {ABC/ peut se réduire en

d*où la règle suivante :

196, De la valeur totale de l'annuité perpétuelle dépendant de l'extinction des têtes proposées , retranchez la valeur de la même annuité» différée du délai fixé : le reste sera la valeur demandée.

Corollaire 5,

197. Il ressort évidemment de ce qui a été dit au corollaire i , que si l'annuité , au lieu d'être perpétuelle , était limitée à un certain nombre d'années^

les règles des deux derniers corollaires seraient également applicables ; il suffirait de substituer l'annuité limitée à l'annuité perpétuelle. Cette annuité temporaire devrait toutefois embrasser plus de temps que l'assurance proposée.

198. Quoique^ dans ce problème^ je n'aie considéré que le cas où il s'agit d'un groupe de trois têtes, il sera cependant facile d'appliquer le même raisonnement à toute autre combinaison de têtes, et il suffira de substituer la valeur d'une annuité dépendant de cette combinaison de têtes, soit pour la totalité de leur existence, soit différée d'un certain nombre d'années, aux expressions ABC y ou {ABÇy des formules que j'ai exposées, pour obtenir les résultats demandés.

199. Toutefois on devra spécialement observer que , quand il s'agit du dernier décès, d'un nombre

quelconque de têtes, la quantité ^(i+ p)""% représente l'espérance que la dernière vivante de ces têtes a de recevoir i fr. à la fin du délai fixé. Une observation analogue s'applique au cas où l'assurance dépend de l'extinction de deux quelconques de trois têtes proposées , etc. , etc. Voyez le problème XXII^ corollaire 3.

Scolie.

20Q. Au moyen de ces deux problèmes et de leurs corollaires , on peut résoudre toutes les questions re-

( i54 ) iatives à la valeur des assurances d un capital ou d'une annuité qui dépendent des diverses conditions que j ai exposées. Et comme tout capital peut être converti en une annuité perpétuelle correspondante , si on ]e multiplie par l'intérêt annuel de i fr., il semble, au premier abord, qu'il reviendrait au même de déterminer la valeur actuelle d'un capital dépendant de l'extinction d'un nombre quelconque de têtes, ou celle d'une annuité correspondante dépendant des mêmes circonstances. Mais on doit observer que le premier paiement de l'anauité est touché par le bénéficiaire à la fin de l'année dans laquelle s'éteignent les têtes proposées, quelle que soit d'ailleurs la fraction d'année qui n'est pas encore écoulée; cette époque est aussi celle de l'échéance du capital. Dans le premier cas, le bénéficiaire entre donc en jouissance de son annuité,, ou reçoit la rente de la première année , en même temps que le bénéficiaire du capital est supposé placer cette somme pour acquérir une rente perpétuelle équivalente, mais dont il oe recevra le premier paiement qu!un an plus tard. Ain§i l'annuité assurée vaut une année de rente de plus que le capital correspondant; donc la première est au second dans le même rapport que i fr. augmenté de son intérêt pendant un an, est à i fr. , c est-àdire :: (i-f-f) : I.

201. Donc, si l'on multiplie par (i-f-f) la valeur actuelle du capital exigible , on aura celle de la propriété foncière ou de l'annuité perpétuelle correspondante. Ainsi, la valeur actuelle d'une annuité

perpétuelle de i fr. payable après la dissolution du groupe ABC , est , d'après le problème XXII , égale

à ? , et la valeur actuelle d'un capital correspondant j - , payable aux mêmes conditions y est^ d*après le problème XXIII ^ égale à - x ' T^ t —

= . X ^ f or il est évident que la première expression est à la seconde dans le rapport de (i+p) à 1.

202. Il résulte également de ce rapport^ que si l'on divise la valeur de l'annuité payable après l'ex^ tinction d'une combinaison quelconque de têtes, par le produit de i fr. augmenté de son intérêt après un an , on obtiendra la valeur du capital correspondant dépendant de Textinction des mêmes têtes.

En comparant les exemples semblables des deux problènies et de leurs corollaires, on confirmerait pleinement la vérité de ces remarques , ainsi qu'on peut le voir dans le scolie de la question XXVIL du chapitre XII,

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