PROBLÈME XXIV

204« Supposons que A jouisse d'une annuité jus -^ quàson décès» et qu'avant de mourir il ait la faculté de se choisir un successeur B, qui jouisse à son tour de l'annuité jusqu'à son décès : trouver la valeur actuelle de l'annuité sur la tête en succession , et la valeur totale de l'annuité sur les deux têtes successives..

solution:.

Supposons que Fannuité sur la tête en succession B, désignable au décès de A, soit à cette époque égale à jB. Or, la probabilité que la première tête a de s'éteindre, et la seconde d'entrer en possession ,

dans la première année, étant -^ — , et la valeur

totale de Tannuité par rapport à B, lors de son entrée en possession , étant 2?^ il s'ensuit que son espérance pour la première année sera, comme dans

le problème XXII, représentée par B X > , On

trouvera de même que jB X . ^ représente son

espérance pour la seconde année, et jB x 7-47T3 son

espérance pour la troisième, et ainsi de suite pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie de A.

La somme de toutes ces valeurs est égale à

à ^ I — r- + /.. u + > , >3 + etc. ; cette ex- « Lï+e (>+e) (<+<) J

( i38 ) pression qui , d'après le problème XXII, est égale

a B X - — —-. , serait la valeur demandée , si B

était un capital en reversion payable au décès de A : ^

mais comme B désigne la valeur d'une annuité^ dont ^ le premier paiement n'a lieu qu'à la fin de Tannée dans laquelle s'éteint la tête A , nous devrons mul-

tîplier l'expression ci-dessus par (i +f) > d'après ce 1

qui a été dit dans le scolie de la page i33; donc t

5(i — fA) sera la vraie valeur de l'annuité sur la i

tête en succession ; d'où la règle suivante : ^