Multipliez la valeur d'une annuité sur la tête

en possession, par le taux de l'intérêt, et retranchez ; le produit de l'unité ; multipliez le reste par la valeur j présumée d'une annuité sur la tête en succession : le produit sera la valeur actuelle d'une annuité sur cette tête en succession.

206. Si l'on ajoute cette valeur à celle d'une annuité sur la tête en possession^ on aura A+B^i — fÂ) pour la valeur de l'annuité sur les deux têtes succès* sives.

Voyez , pour l'application de ce problème , la question XXIII du chapitre XII^

Corollaire 2.

207. On peut déterminer par là la valeur actuelle d'une annuité sur un groupe quelconque de têtes ^ ou payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes, ou dépendant de toute autre com-

( »39 ) uai^OD de têtes qui doivent succéder à une corn* laisoii semblable : car, en appelant respectivemt A fXB les valeurs dWe annuité sur ces têtes ^ forifânle ci-dessus exprimera la valeur actuelle me annuité sur ces têtes eh succession «

Corollaire 2.

208. Si la tête en succession ^ au lieu de recevoir dinnixé jusqhHà son décès, ne la devait toucher que ndaut un nombre certain d'années^ à partir de Ktinction de la tcte en possession; dans ce cas > suffirait d'appeler B la valeur de cette annuité cerne pour que la formule ci-dessus exprimât enre exactement la valeur actuelle de cette annuité ^ nt on doit entrer en jouissance à l'extinction de tête en possession «

Et si cette annuité était perpétuelle , B serait égale

-, et la formule deviendrait -* — A^ expression

entique avec celle déduite du problème XXIII. Voye2{, pour lapplication de ce corollaire^ la lestion XXIV du chapitre XII.

PROBLÉaiE XXV.

209. Trois têtes. A, B, C, étant données en suc«» îssion , trouver la valeur de l'annuité sur la troième tête en succession, et aussi la valeur totale e l'annuité sur les trois têtes successives*

solution:. ,

Supposons que les valeurs d'une annuité sur chaune des trois têtes, à l'époque où elles entrent ea

possession I soient respectivement représentées par A f B^ C. Or la valeur d'une annuité commençant au décès de A sur la première tête en succession^ étant à la valeur d'une rente perpétuelle commençant à la même époque , dans le rapport de i? à - ,

il s'ensuit que la valeur actuelle de la première sera à la valeur actuelle de la seconde, dans le même rapport. Mais la valeur actuelle de la rente perpe** tuelle commençant au décès de Â^ est, d'après le

problème XXIII , égale à .^ = ^ : donc^

Il B II ' "" ^ : jc = J9 (i — fA)i le demi

terme de cette proportion est la valeur actuelle di Tannuité sur la première tête en succession. Nouf^ avons trouvé le même résultat par le dernier problème ; on voit donc que les deux méthodes de so-^. lution se servent de preuve l'une à l'autre.

La valeur actuelle de lannuité sur les deux pre-* mières têtes successives étant ainsi trouvée égale à A-^B^i — fA) y il s'ensuit que la valeur actuelle deJ la reversion d'une annuité perpétuelle après rextinc-3 tion de ces têtes j sera ( d'après le problème XXDI};

égale à -~[^+5(i -/.^)]=i(i-p^)x(i-/5)-1

Conséquemment, puisque la valeur d'une annuité sur^ la troisième tête en succession (à partir du décès de B) , est à la valeur d'une annuité perpétuelle (a partir de la même époque) dans le rapport de ^

à -; il s'ensuit que la valeur actuelle de la premier©-

a à la valeur actuelle de la seconde dans le même )port, c'est-à-dire qu'on aura

:C::-(i-e^)x(i-c^):^=Cx(i-c^)x(i— c5);

leur actuelle d'une annuité sur la troisième tête ccessive ; d'où la règle suivante :

210. Multipliez la valeur d'une annuité sur la tête possession, par le taux de l'intérêt, et retran-

ez le produit de l'unité j multipliez aussi la valeur ^umée d'une annuité sur la seconde tête en sucsion, par le taux de l'intérêt, et retranchez de même produit de l'unité ; multipliez ensemble ces deux tes, et leur produit par la valeur présumée d une mité sur la troisième tête, lors de son entrée en issance ; ce dernier produit sera la valeur actuelle l'annuité sur la troisième tête successive.

211. Si l'on ajoute ensemble les valeurs actuelles ur chaque tête successive, comme nous les avons uvées ci - dessus, leur somme ou ^-{-i?(i — fA) C{\ — fA) X ( I — p5) sera la valeur actuelle de dnuité sur les trois têtes successives ; cette exprès-

\vl sera trouvée égale à - V\ — (i — pA ) x, — pB) X (i — f C) |; d'où la règle suivante :

212. Multipliez les valeurs présumées d'une an- ^tiité sur chacune des têtes proposées , par le taux lelmtérét; retranchez -de l'unité chacun de ces

produits^ et multipliez ensemble tous les restes; retranchez aussi de l'unité ce dernier produit , .el di-, visez le reste par le taux de l'intérêt; le quotient sera la valeur actuelle de l'annuité sur toutes les têtes successives, en y comprenant la tête en possession.

PROBLÈME XXVÏ.

215. Supposons qu'une personne acbète moyennant une somme s un ténement viager constitué ] sur un nombre quelconque de têtes A, B, €,...» à condition qu^elle ou ses représentans auront la fa- ^ cnlté d'en renouveler continuellement la jouissance en payant à chaque décès une prime p; trouver j la valeur actuelle du prix total de cette aliénation. ,

soLUtioir.

Soient A , By C^ etc. les valeurs respectives d'une; annuité sur chacune des têtes Â, B, C, . . . . en po^' session, et soient (i) J}^ ^% A^^. ... les valeurs res-! pectives dune annuité sur chacune des têtes A%ANI A^, que nous supposons devoir succéder directemeotj à A. De la même manière, soient J9*, jB*, JB*,...» les valeurs respectives d'une annuité sur chacun^i des têtes B', B*, B^, que nous supposons devoir suc- ]

(i) On doit prendre garde de se me'prendre sur la signifie»— i lion de ces indices, dont l'objet est seulement de désignerl Tordre dans lequel doivent se succe'der les têtes , et nullement leur âge relatif. 1

céder directement à B, et ainsi de suite pour les têtes qui doivent succéder à C, D. . . . Cherchons d'abord 1 déterminer la valeur actuelle de toutes les primes ]u'on aurait à payer à Texlinction de la tété A et le celles qui doivent lui succéder directement.

Or, la valeur actuelle de la prime p payable au lécès de Â, à quelque époque de l'année qu'il ait ieu, peut, dans ce cas, être assimilée à la valeur ictuelle d'une rente annuelle de p.f dont on entrerait en jouissance au décès de A, valeur qui, d'après e problème XXIII , est trouvée égale à

of ( y4j =p{i — fy^)» Si , dans cette fornriule,

nous substituons à ^ la valeur actuelle de l'annuité sur les deux têtes successives A, A\ qui, d'après

le problème XXIV , est trouvée égale à

^ + j4'(i + f^)f nous aurons p(i — fA)x,[i — fA') pour la valeur actuelle de la prime à payer au décès de A^ Et si, dans la même formule, nous substituons à ^ la valeur actuelle de l'annuité sur les trois têtes successives A, A', A*, qui, d'après le dernier problème , est trouvée égale à A -^ A^ {i — fA) + A\i — fA) X (i — f^^)t nous aurons p{i — fA) X (i — fA^) X (i — fA*) pour la valeur actuelle de la prime payable au décès de A*, et ainsi de suite pour toutes les primes suivantes payables à l'extinction des têtes qui succéderont à A. La somme de toutes ces quantités, ou la série /? [(i — fA) +

(i~P^)x(i— P^O + (i— f^) X (i — p^O X (ï-— fA"") + . . . . jusqu^à l'infini] est la valeur actuelle de toutes les primes qui doivent être payées

de temps en temps y pour renouveler le bail avec les diverses têtes qui doivent succéder à A.

En raisonnant de la même manière , on trouverait que la série />[(i — fB) +(i — fB) X (i — f5') +

(i — fB) X (i — P^O X (i — fB") + jusquà

l'infini ] désigne la valeur actuelle de toutes les prime» qui doivent être payées de temps en temps pour renouveler le bail avec les diverses têtes qui succéderont à B^ et ainsi de suite pour toutes les autres têtes C 9 D .... 9 et celles qui leur succéderont : la somme de toutes ces différentes séries , ou

p[(i— p^) -f- (i— f^) X (i— fy^')+---«^] + p[(,p5) + (i p5) x(i— fB')+---oo] + P[(i— pO + (i— fO X (i-f^O 4-...00] + etc. etc. etc.

sera la valeur totale actuelle de toutes les primes que le tenancier aura jamais à payer; et cette expression ajoutée à s donnera la valeur totale pyée pour cette aliénation.

Corollaire i.

214. Si Ton suppose que les têtes avec lesquelles le bail est renouvelé à chaque décès, soient toutes égales entre elles ou du même âge que A% Fexpressiott générale ci-dessus devient

p{\ — /»A)[i+ (i — pA«) -h (i — pA«)« + (i — f A')' H-. . . . 00] -f. ;7(î — fB)[i+ (i — fA') +(i — /»A«)« -f- (i — fA«)» +....«] -^;^(i — pC)[i+(i — fA') + (i— fA')«-f(i-./,il')»+....oo] etc. etc. etc.

(' i45 ) Etpui8que(O[i-Ki-f-^')H-(i-f-'0'H-(»/--^')H-....»] est égal à -rr» la somme de toute la série devient

expression dans laquelle n désigne le nombre de têtes sur lesquelles est constitué le ténement : d'où la règle suivante :

215. Divisez le nombre de têtes par le taux de Imtérét, et retranchez du quotient la somme des valeurs respectives d'une annuité sur chacune des tètes en possession; divisez le reste par la valeur présumée d'une annuité sur la tête d'un âge moyen avec laquelle on renouvelle le bail à chaque décès : le quotient étant multiplié par la prime payable à chaque renouvellement sera la valeur totale actuelle de tous les renouvellemens à venir; et si l'on ajoute ce produit à la somme donnée en premier lieu , on aura la valeur totale de l'acquisition.

216. Exemple. Supposons qu'une personne ait payé looo fr. pour Tacquisition d'un ténement viager reposant sur trois têtes dont les âges sont 3o^ 5o

(i) On doit savoir que = i +x + x^-^x^-\',.,,coz

donc en remplaçant x par (i — ^A') , on aura--p égal à la

série donnée dans le texte.

( 146 ) et 70 ans, à condition qu'à l'extinction de Tane d'elles elle aura la faculté de renouveler continuellement le bail avec une autre tête quelconque à son choix, moyennant le paiement d'une prime de 600 fr. : quelle est la valeur actuelle de toutes les primes qu'on doit ainsi payer en renouvellement; l'intérêt étant supposé à 5 p. 100 et la mortalité conforme aux observations de M. Deparck^x?,

Ici, nous aurons A = 14^^^ » B = ii^SâS^ C= 6,o55, w = 3, p = o,o5, ;?= 600, et A' (ou la valeur d'une annuité sur la tête que la table désigne comme ayant le plus de chances ( 1 ) de longévité )= i6,ai5. Par conséquent,

^jg^ (60 — 52,1 1 1) = 1052,097

sera la valeur actuelle de toutes les primes , et celte quantité ajoutée aux 1000 fr. payés à l'entrée en jouissance donnera la valeur de cette acquisition.

Corollaire 1.

217. Quand toutes les têtes en possession sont du même âge que A, la formule du corollaire précèdent

devient égale à-^ (— -^M Mais si toutes les têtes,

(1) Ccst toujours la valeur présumée de A', d'après ce q»^^ a été dit n"» SOS.

aussi bien celles qui sont eu possession que celles qui doivent être désignées par la suite , sont égales entre elles et du même âge que A% la valeur actuelle de tous les renouvellemensàvenir sera égale à

Corollaire 3.

218. Si l'on multiplie par lé taux de l'intérêt la valeur actuelle trouvée dans l'un des corollaires précédents, on verra de quelle quantité se trouve augmenté le revenu annuel du propriétaire , en raison des primes payées à chaque renouvellement.

Ainsi dans l'exemple donné au n" 21 7, on trouvera que io32.o97 x o^oS = 5i,6o5 est la somme dont se trouve augmenté le revenu du propriétaire, en raison de ces primes.

Corollaire 4*

219. Puisque la somme payée au commencement du bail f ajoutée à la valeur actuelle de toutes les primes qui doivent être payées en renouvellement, est égale à la valeur totale de la propriété ou à la perpétuité de son revenu, (=r)j c'est-à-dire,

puisque s -j- ^f- ^—A'^B— C— etc. J=: r; il s'ensuit que p, ou la prime qui doit être payée à chaque

r^nouyellement, sera égale li

?^^-.C — eu.

d*dù la règle suivante :

220. Retranchez la somme qne le tenancier a donnée au commencement du bail de la valeur totale de la propriété p multipliez le reste par la valeur présumée d'une annuité sur la tète d'un âge moyen avec laquelle le bail est supposé renouvelé à chaque décès; et réservez ce produit. Divisez le nombre de têtes sur lequel le bail est maintenant constitué par le taux de Tintéret, et retranchez du quotient la somme des valeurs dune annuité sur chacune de ces têtes; si Ion divise par ce reste le produit réservé y on aura la somme qui devra être payée comme prime à chaque renouvellement.

221. Exemple. Supposons qu'une personne ait acheté pour looo fr. le tenement d'une propriété dont le rapport serait estimé loo fr, par an, et que ce tenement soit constitué sur trois têles, avec faculté de renouveler continuellement le bail à l'extinclion d'une de ces têtes par le paiement d'une prime constante : quel devra être le montant de cette prime pour que l'intérêt ressorte à 5 p. lOo? On suppose que les têtes sur lesquelles la propriété est maintenant constituée soient âgées de 5o, 5o et 70 ans, et que la mortalité soit conforme aux observations de M. Deparcieux.

Ici nous aurons r, ou la valeur du revenu perpe'tuel de la propriété, = 2000, s z=z 1000, et les

( »49 ) autres quantités comme, dans l'exemple du n* 217. Consëquemment la valeur de la prime à^v^ /v -

222. Si la propriété repose sui* une ,té te seulement ^ ^valeur actuelle , par rapport au propriétaire, sera

dans tous les cas , exprimée par /^ x ^ "^, - Or iwi^

rHédiàiement après le paiement d'une prime, la tête ea possession est égale à À^, et rexpr^qssiou # dans ce

cas, dévient p x — ]fr"î c* immédiatement a\^ant lé

paiement d-une prime, la tétées poissession étant yenue à s'éteindre, Texpressiotiii daus ce cas, devient /> X -—r,*

Mais puisque la valeur actuelle de la première prime à payer est toujours exprimée par j9(i ^.^fA\ Plous pourrons , aisément déterminer la valeur que »*eprésente cette propriété pour son propriétaire, ou 'a valeur de toutes les primes payables en renouvellement, au moyen de la règle suivante :

225. Divisez la valeur actuelle de la première [>rime à payer par le produit dû taux de l'intérêt >i[)ultiplié par la valeur d'une annuité sur la tête d'un ^e uio^en avec laquelle on renouvelle lé Bail à clhàque décès; le quotient sera la valeur dekâiatidée*

. 224* Exemple. Supposons que le tenancier d'une propriété ainsi constituée paie à son propriétaire une prime de looo fr. à son entrée en possession, et que chaque successeur en fasse autant : quelle est la valeur actuelle du ténement par rapport au propriétaire en supposant que les tenanciers successifs aient environ a5 ans à l'époque de. leur admission, que rintérét soit de 5 p. loo et la mortalité conforme aux tables de Northampton.

Ici nous aurons ^'ssiS^Sôy, /sso^oS, et/i= looo. (Eonséquemment la valeur demandée immédiatement avant la réception d'une prime sera égale à

looox — g^ o tuT = ï474>'6. Et immédiatemeni fiprès la réception à^nn^ prime, çlle sera égale à

?pooX g— j gg • = 4749 ^6* Mais SI la tête aujourd'hui en possession avait 70 ans , nous auriom A = 6,023 ; dans ce cas , la valeur de ^toutes le£

primesseraitiooo x-j-^g^^^gg^= io5o,22.

: Donc si le tenancier donne 5ooo fr. pour Tentréf en bail y la valeur totale de l'achat sera, dans ce dernier cas , estimée a 6o3o fr.

Corollaire 6.

22^. Si le ténçment est constitué jusqu'au demie, décès d'un nombre qiielconque de têtes (c'est-à*dir f copditipn que lorsque toutes ces têtes seront éteinte h fef\i }ff{W^ ^^f* wnwYçlé avec le même nornb^^

de têtes et aux mêmes conditioas, en payant la prime désignée ) , puisque toutes les tètes peuvent dans ce cas être ramenées à une seule, les formules du dernier corollaire exprimeront encore la vraie valeur da ténement pour son propriétaire; il suffira de faire A égal à la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de toutes les tètes en possession , et^' égal à la valeur présumée d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de toutes les têtes avec lesquelles on renouvellera le bail à chaque extinction de têtes en possession.

226. Exemple. Supposons qu'un ténement repose sur deux têtes , avec cette condition qu'à l'extinction de ces deux têtes il puisse être renouvelé £ivec deux autres têtes (les plus avantageuses qu'on pourra trouver) au moyen du paiement d'une prime lie 3oo fr.^ et ainsi de suite à perpétuité : quelle est la valeur actuelle que représente ce ténement pour le propriétaire,, l'iqtérêt étant supposé à 5 p. loo et la mortalité conforme aux tables de Northampton? Ici nous aurons ^'(ou la valeur d'une annuité

|>ayable jusqu'au dernier décès de deux tètes, toutes

deux âgées de 8 ans) =17,721, f=o,o5, et/>=:5oo;

donc la valeur demandée immédiatement a^ant la

réception d'une prime sera

5oo X — -^ = 558,58 1,

çt immédiatement après la réception d'une prime ^ ?lle sera 58,58f . Mais si les têtes sur lesquelles repose

le téoement étaient actuellement âgées de 4o et 60 ans, la valear demandée serait

3oo X ^ t^^^ — - = 1 i4j8oo :

ou si la plus âgée de ces tètes était décédée, elle serait

z^^ w i—o,o5xi 1,837 ffo

Scolie,

227. D'après lès principes qui viennent d'être exposés, il serait facile de déterminer s'il est plus avantageux au tenancier ou au propriétaire de remplacer impiédiatement chaque tête qui vient à s'éteindre , ou d attendre qu'il y en ait deux ou plusieurs déçédéçs ayant de renouveler le bail.

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