LOIS DES CHANGES 9 ET PROBABILITES DE LA VIE HU?«IAINE
1. Mon intention li'est pas d'expliquer en détail la nature et les lois des probabilités ; mais pour rendre clairs les termes qui se rencontrent le plus fréquemment dans le cours de cet ouvrage, je vais exposer les principes généraux qui sont le plus intimement liés avec le sujet que je traite.
2. On doit entendre par la probabilité d'un événement le rapport du nombre de chances favorables à cet événement , au nombre total des chances pos* sibles; et l'on peut l'exprimer par une fraction dont le numérateur est le nombre de chances favorables, elle dénominateur le nombre total de chances possibles.
Ainsi, s'il y a a chances favorables et b chances T. I. I
contraires à un événement , la probabilité de 1 événement sera représentée par — ttâ'
5. Delà ménde manière^ la probabilité contraii^ à un événement peut être exprimée par une fraction dont le numérateur est le nombre de chances contraires à cet événement, et dont le dénominateur est y comme plus haut^ le nombre total des chances possibles. Ainsi la probabilité contraire ' au même
événement sera représentée par r*
4. Puisque la somme des deux fractions qui représentent les probabilités favorable et contraire à un événement, est égale à Vanité, il s'ensuit qu'une d'elles étant donnée, on trouvera l'autre par une soustraction. Ainsi la probabilité d'un événement
étant — xii' ^^ probabilité contraire sera représentée par I — -T = — TTT» ^* réciproquement.
5. Si dans le cas où un certain événement aurait lieu, une personne a droit à une somme d'argent désignée , l'attente qu'elle a de recevoir cette somme a une valeur déterminée avant l'accomplissement de l'événement ; et cette valeur s'obtient en multipliant la quotité de la somme attendue par la fraction qui représente la probabilité de la recevoir. Ainsi, si une personne a a chances d'obtenir, et b chances de ne pas obtenir une somme désignée, que jap*
pelleraî s, dans ce cas s X — -rrs i^eprésentefa la
vraie valeur de Vattente qu'elle a de la recevoir, ou de son espérance mathématique.
6. La probabilité du concours de plusieurs ëvënemcDs indépendants les uns des autres, est égale au produit des probabilités de chaque événement, considéré isolément. Ainsi , si la probabilité d'un événe-
ment est ^ , , , celle d'un second -— - — 3, celle d'un
troisième — r-v, • . . , alors — r-> X — 7-^ X — v-r- • •
leprésentera la probabilité du concours de tous ces éyénemens. Et cette expression, multipliée par la quotité de la somme, désignera l'espérance mathématique qu'on a de recevoir cette somme , dans le cas où tous ces événements, indépendans les uns des autres, auraient lieu.
7. Par un raisonnement semblable, on verra que la probabilité contraire à l'accomplissement d'un nombre quelconque d'événemens indépendans , est égale au produit des probabilités contraires à laccomplissement de chacun d'eux, considéré isolément. Ainsi , si la probabilité contraire k un évé-
nement quelconque est r, celle contraire à un
second — ---5, à un troisième -4— >. . ., alors'
----2, a un troisième -^TTf
X ^ X ~—f' • • représentera là probabilité cou-
traire à tous ces ëvénemens; et cette expression,
multipliée par la quotité de la somme, désignera l'espérance mathématique qu'on a de recevoir cette somme dans le cas où aucun de ces événemens n'aurait lieu,
8. De plus, si l'on retranche cette expression de l'unité, on aura la probabilité d'accomplissement de l'un quelconque de ces événemens; car, puisque
— q^ X , X -~->. . . est la probabilité du non
accomplissement de tous les événemens proposés,
il suit (n« 4) que i - -±^ x ^-^ X j^ . .
désignera la probabilité contraire au non accomplissement de tous ces événemens, c'est-a-dire favorable à l'accomplissement de l'un d'eux; et celte expression, multipliée par la quotité àe la somme désignée, donnera l'espérance mathématique qu'on a de recevoir cette somme , dans le cas où l'un des événemens proposés aurait lieu.
9* De la même manière, si l'espérance qu'on a de recevoir une somme dépend de l'accomplissement d'un certain nombre d'événemens îndépendans et du non accomplissement d'un certain nombre d'autres événemens indépendans, sa valeur sera égale à la quotité de la somme multipliée par la probabilité de l'accomplissement des premiers, et encore par là probabilité contraire à l'accomplissement des auti'esi Ces principe? nous suffiront pour déterminer la valeur d'une espérance mathématique qui dépendrait de ^accomplissement où du non accomplisse-'
ment d'un nombre quelconque d'ëvénemcns indépendans.
10. Jusqu'ici j^ai toujours considéré ces événement comme îndépendàns les uns des autres; mais si nous voulons ; déterminer la probabilité du concours de deux événemèns dépendans l'un de l'autre, vious devrons^ multiplier la probabilité du premier par la probabilité qu'aura le second, si l'on considère le premier comme accompli; et la même règle s'étend à autant d'éyénemens qu'on voudra.
11. S'il y a plusieurs espérances de recevoir plu-^ sieurs sommes, il est évident que l'espérance mathématique de la totalité sera égale à la somme des espérances partielles. Mais s'il n'y a qu'une seule somme à recevoir dans le cas où les conditions pro-^ posées s'accompliraient, la valeur de l'espérance ne sera plus la même. Au reste, les méthodes à employer dans ces sortes de questions seront expliquées plus au long dans le cours de cet ouvrage ; ce que nous avons dit jusqu'ici ne devant servir que d'introduction aux divers problèmes que nous résoudrons par la suite.
12. Maintenant, si nous avons à rechercher la probabilité qu'une personne d'un âge donné a d'atteindre ou de ne pas atteindre un certain âge donné, ou de recevoir une somme d'argent qu'on lui promet si elle atteint cet âge, c'est certainement une question de la plus grande incertitude, et à la(][uelle, pour
(6) plusieurs individus du même âge, on devra répon-? dre d'une manière toute différente. La chance qu'un homme de 5o ans^ qui a une bonne constitution , des habitudes réglées et frugales , et qui habite la campagne, a de vivre encore 20 ans, est évidemment plus grande que celle d'un homme du même âge et de la mChie vigueur de constitution , mais plongé dans les plaisirs et les débauches d'une grande ville ; plus grande encore que celle d'un homme du même âge et de la même force de tempérament, mais allant ha« biter un climat malsain auquel il n'est pas accoutu*mé ; et , à plus forte raison encore , plus grande que celle d'im homme du même âge, mais d'une constitution faible et maladive, ou que ses occupations journalières exposeraient à beaucoup de dangers dont la généralité des hommes sont exempts, tels que les soldats et les marins en temps de guerre ou de service actif. Ces circonstances sont hors du domaine du calcul, et tout ce que les règles générales peuvent faire à ce sujet, c'est d'estimer le degré raisonnable de probabilité qu'une personne d'un âge donné a d'atteindre un autre âge donné, en supposant qu'elle n'ait ni plus ni moins de chances d'j parvenir que la majorité des individus du même âge. Cette chance moyenne est déterminée par des tables qui montrent le nombre de personnes qui , sur un certain nombre d'enfans, ordinairement mille au moins, que l'on prend au moment de leur naissance, sont, par une longue suite d'observations, trouvés vivans à chacune des années consécutives de la vie humaine, rusqu'à sa dernière limite; cette limite, dans que}-
(7) ques tables^ est portée à 86^ et dans d'autres, à pins de 90 ans. Les exemples de la prolongation de la vie humaine jusqu'à 100 ans et au-delà sont si rares ^ qu'on n'a pas jugé utile d'en £aire l'objet d'aucune observation spéciale.
13. Plusieurs observations sur la mortalité ont été Élites par différentes personnes et dans difiërens lieux , et plusieurs écrivains tels que D*" Halley , Th. Simpson, Kersseboom, Deparcieux^ D" Price, Sulmich, Wargentîn , Muret et autres ont calculé , d'après ces observations, des tables de la nature de celles dont nous venons de parler. Mais les mêmes tables de mortalité ne conviennent pas dans toutes les localités; l'expérience a montré que tous les pays ne sont pas également sains , et que le nombre de personnes qui meurent annuellement n'est pas le même, proportion gardée , en différens lieux. D*^ Halley forma sa table d'après des observations faites sur les naissances et les décès de la ville de Breslaw en Silésie, pendant une série de 5 ans, de 1687 à 169:2. Thomas Simpson , d'après des observations faites sur les registres mortuaires de Londres pendant 10 ans^ de 17:28 à 2758. Kersseboom, en dépouillant les i^egistres de certaines annuités viagères constituées en Hollande, embrassa un espace de 1 25 ans» Deparcieux se servit des listes des tontines de France , et ses résultats forent confirmés par la comparaison des nécrologes ou registres mortuaires de quelques maisons religieuses des deux sexes. D' Price fit usage d'un registre tenu à JNorthampton pendant 46 ans, depuis
(8) 1755 jusqu'à 1781; le même auteur a aussi dressé une table d'après un semblable registre tenu à Norwîch pendant 5o ans, de i'j4^ à 177OJ une autre d'après un registre tenu à Holy-Cross, près de Schrewbury pendant 5o ans, de xj5i à 1781; une autre d'après un registre tenu à Warrington, dans le comté deLancastre, pendant 9 ans, de 1775 a 1782; une autre d'après un registre tenu par D' Naygarth à Chester pendant 10 ans, de 1772 à 1782; une autre d'après un registre mortuaire tenu à Vienne pendant 8 ans ; une autre d'après un semblable registre tenu à Berlin pendant 4 ans, de 1752 à 1756; une autre d'après un semblable registre tenu à Brandenburgh pendant 5o ans, de 1710 à 1760: ces trois dernières tables furent dressées au moyen de documents fournis par Sulm^h ; une autre encore d'après les tables de mortalité de Stockholm pendant 9 ans , de 1 765 à 1764, et suivant les observations de Wargentin, et une autre enfin d'après sept différentes énumérations de toute la population du royaume de Suède , répétées de 5 ans en 3 ans, en ijSj , 1760, 1765, 1766, 1769, 1772 et 1775. Muret se servit des registres tenus dans quarante - trois paroisses du canton de Vaud en Suisse pendant 10 ans, de 1766
14, Toutes ces tables présentent entre elles des contradictions, et souvent si frappantes que nous ne pouvons croire qu'on ait traité cette question avec tout le soin et Texactitude dont elle est susceptible. On aurait dû observer qu'il y a deux natures d'élé-
(9) ments pour former. d«s tables de imortalité^ les uns se tirent des registres des décès , qui montrent le nombre des personnes qui meurent à tous les âges sur une population quelconque ^ les autres ^ de la proportion qai existe entre le nombre des morts à tous les âges et celui des vivans aux mêmes âges. Les tables déduites des premiers de ces élémens ne sont correctes que lorsqu'il y a peu de fluctuations dans la population d'une contrée, et quand le nombre des naissances est égal à celui des décès; mais quand il y a plus d'individus qui quittent une localité que d'individus qui s'y établissent , et quand les- naissances sont plus nombreuses que les décès (ainsi qu'il arrive presque toujours dans les communes rurales) les tables ainsi formées donneront une vie probable trop courte ; et si le contraire a lieu, comme c'est l'ordinaire dans les grandes villes, une vie probable trop longue. Maïs les tables formées d'après l'autre nature d'élémens ne sont sujettes à aucune erreur.
15. La plupart des tables que nous avons citées ont été construites d'après les premiers de ces élémens , et dans presque toutes , on a eu égard autant que possible aux variations produites par l'émigration, etc. Mais je ne crois pas qu'on se soit servi des autres élémens pour dresser aucune table d'observations , si ce n'est Wargentin qui fit des observations de cette nature sur la population de la Suède , et il est fort à regretter qu'on n'en ait pas fait de semblables dans les autres contrées.
