PROBLÈME XXXII
262. Déterminer la valeur actuelle, d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes lonnées A, B^ C, cette tête A soit la première ou a seconde qui s'éteigne.
SOLUTIOK.
La somme proposée peut être reçue à la fin de ^première année, si l'un ou l'autre de quatre difsrens événemens a lieu. i*. Ou les trois têtes mour- ^Xiï vlans l'année , A mourant le premier ou le second ; *• ou A et B mourront tous deux dans l'année , et C ivra encore à la fin de cette année ; 3'. ou A et C
( ïgo )
mourront tous deux dans Tannée, et B vivra encore a la fin de cette année; 4°- ^^ seulement A moum dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin de cette année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont représentées par
3 abc ' abc ?
(a-gQ.Cc.-c^ ' (a- a')b- ç'
' — r*r j — » — ' . ei V "^ •
abc abc '
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i + p)""', donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes, Is somme proposée peut être reçue si Tun quelconque de ces huit différens événemens a lieu. i*. Ou les troiî têtes mourront dans Tannée, A mourant le premi^^ ou le second; 2**. ou A et B mourront tous dèuxdànî Tannée , et C vivra encore k là fin de Tannée; S**, ou h et C rtiôiiri^nt tous Méiix' dans Tannée^ 'et B vîvk encore à la fin de Tannée ; 4°* où seulement A moiirrî dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin dt Tannée; 5°. ou A mourra avant B dans Tannée, ( étant mort dans Tune des années précédentes; 6*. oi A mourra avant C dans Tannée, B étant mort daùJ Tune dés années précédentes; y"*, ou seulement A mourra dans Tâtmée, C étant 'mort dans Tune dei années ptécéd^ntes ,' et B vivant encore à la 'fin de Tannée; ^6*: oti setrlenient A mourra dans Tatincèj B étant thdi't dans Tune des années précédéirtes ; cl G vitaîit encore à la fi ti de Tannée. Les prbbâbi-
( 19' ) lités de ces divers ëvénemens^ pour la seconde année, sont représentées par
3abc ^ abc '
{a'-a°).(c'~-c')b' [a'-a')b'c' {a'-^a'Ub'—b')/ '.' c'
{a'^a'').{i/- c'')r b\ {a'-a" )b'' r c\ lac \ bj^ ab \ c)
ti ' -
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j(i + f)*"*, donneront l'espérance qu'on Ja de recevoir la sonune-à' la fin de laiseconde année. De la même manière , nous pourrons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année. et de toutes les années suivantes^ jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et la somme de toutes ces e^spérancessera la valeur totale actuelle du capital proposç^ payable. aux; conditions ci-dessus. - ,',.., '\ :,
Ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression ^ et arrangées les unes sous les autres y formeront seize séries verticales, dont la somme est la valeur actuelle demandée, et sera trouvée égale à .
(i) Il ne seva pas inutilç de remarquer ici qu'on obtîendrîiit ^^etnent cette formule en prenant la somme des valeuvs de-
Corollaire,
265. Quand les trois têtes sont égales ou toulcs du même âge que  , cette expression (d'après ce qui a été dit dans le corollaire du problème XXX) devient égale h
OU égale à la différence entre la valeur d'une assurance de la somme proposée sur un groupe de deux têtes I et le tiers de la valeur d'une assurance de la même somme sur le groupe des trois têtes.
PROBLÈME XXXni. ^
264. Déterminer la valeur actuelle d'un capilJi' payable au décès de A, pourvu que de trois télés données A, B, C, cette tête A soit ]sl seconde ovl^^ troisième qui s'éteigne.
(luîtes des problèmes XXIX et XXX , ou la différence cntr«
I •■"— pA
s X z ^— et la valeur déduite du problème XXXI : ce qu»
est évident par la nature même de ces questions. £n effet, i^ somme doit être reçue au décès de A , pourvu qu'il meure i^ premier ou le second, ou , ce qui est la même chose , elle ào^^ être reçue au décès de A, pourvu qu'il ne meure pas' le if^^" sième.
SOLUTION
La somme proposée peut être reçae à la fin de la première année si Tun ou l'autre de ces trois divers événemens a lieu. i*". Ou toutes les trois têtes s'éteindront dans Tannée y A étant mort le second ou le troisième; o!". ou  et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier et C vivant encore à la fin de l'année ; 3**. ou A et C mourront ^ans l'année^ A étant mort le dernier et B vivant encore a la fin de l'année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont , pour la première année ^
Saïc ^ T^abc ' 2abc '
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + f)""', donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la premîèi^e année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme peut être reçue si l'un ou l'autre de huit différens événemens a lieu. i"*. Ou les trois têtes mourront dans l'année, A étant mort le second ou le troisième; s"", ou A et B mourront dans Tannée, A mourant le dernier et C étant encore vivant à la fin de Tannée ; y. ou A et c mourront dans Tannée , A mourant le dernier et B étant encore vivant à la fin de Tannée;
4* ou A et B mourront dans Tannée, C étant mort T. I ,3
dans une des années précédentes; S"", ou A et C mour* ront dans Tannée , B étant mort dans l'une des années précédentes; 6"". ou seulement A mourra dans l'année^ B étant encore vivant à la fin de l'année et G étant mort dans l'une des années précédentes; y"", ou seulement A mourra dans l'année , C étant encore vivant à la fin de Tannée et B étant mort dans Tune des années précédentes; 8^. ou seulement A mourra dans Tannée y B et C étant morts dans Tune des années précédentes. Les probabilités de ces divers événemens^ pour la seconde année > sont respectivement
7,abc ' ab \ cj'
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expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i + p)""*, donneront Tespérance qu Qo a de recevoir la somme à Jia fin de la secood^ année. De la même manière nous pourrons trouver les as** pérances qu'on a de recevoir la $omme à U fin de la troisième année et de toutes les suivantes » jusqu'aux dernières limites de la yie l^^m^iifie) et la seconde de toutes ces espérances sera la valeur totale actuelle du capital proposé, dépendant des conditions ci^ dessus.
Ces diverses espérances annuelles , étant réduites
1 leur plus simple expression et arrangées les unes sur es autres^ formeront dix séries verticales, dont la omme sera trouvée égale à
Corollaire,
