PROBLÈME XXXI

2S9. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que de trois têtes données A , B ^ G, cette tête A soit la dernière qui s'éteigne.

SOLUTION

Il est évident que la somme ne peut être reçue à la fin de la première année que dans le cas de l'extinction de toutes les têtes , A étant mort le der^ uier ; la probabilité de cet événement est

(g — a')Xl^— &')X(c — c')

3abc *

iressioa qui étant multipUëe par ^(i -+•?)"'' don-^ 'a l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la de la première année. • .

tfais dans la seconde année et les suivantes^ la nroe peut être reçue si Tua quelconque de ces itre différens événemens a lieu, i "". ou toutes les têtea mrront dans Tannée , A. mourant le dernier; 2<». ou et B mourront dans l'année^ A mourant le der* r et C étanjt mort dans l'une des années précéites; S"", ou A et G mourront dans l'année, A curant le dernier, et 6 étant mort dans l'une des an-ts précédentes; 4"** o^ seulement A mourra dans inée, B et C étant morts dans l'une des années îcédentes. Les probabilités respectives de ces événens sont, pour la seconde année,

3abc * , 7.àb \ c )*'

<£=f2^-zO(,^)e.i^-(-rX-7).

pressions qui, étant ajoutées ensemble et multi-* iéfes par * (!+/)■"% donneront lespérance qu'on

de recevoir la somme à la; fin de la "seconde mée.

De la même manière , on trouvera les espérances a on a de recevoir la somme à la fin de la troième année > et de toutes les années >8uivantes jusu'aux dernières limites de la vie humaine, et si on réduit à leur plus simple expression ces diverses^ espérances annuelles et qu'on range leurs termes le$i

( i88) uns sous les autres, elles formeront dix-huît séries verticales, dont la somme sera la valeur actuelle demandée , et sera trouvée égale à s multiplié par

(1 4- c) 2(74- c) 2(1 + ç) ' « ' • âfl 2(7+ c)

i+AB£ c' .j.^ c^

Mais cette expression est égale à

formule qui désigne par conséquent la valeur actuelle demandée.

Corollaire,

260. SI les trois tètes sont égales ou du méme^ âge que Â, la valeur actuelle du capital proposé sera^ d'après ce qui a été dit dans le corollaire du der^ nier problème , représentée par

1 — g (3v^ — ZAA + A A A)

ou le tiers de la valeur actuelle du même capital payable au dernier décès des trois têtes.

Scolie.

261. Si l'on ajcKile ensemble les valeurs actuelles 11 capital proposé y comme nous les ayons trouvées irles problèmes XXIX, XXX et XXXI, on trouera leur somme égale à la valeur actuelle du même ipital , payable au décès de A ; ainsi la somme de

es trois valeurs sera ég^aleà s x -, — A-r : par là se

ouve démontrée l'exactitude de ces raisonnemens.