PROBLÈME XXXIV

266. Détermiiier la valeur actuelle d'un capii^ payable au décès de A, pourvu que de trois tête données A , B ^ C , cette tête A soit la première ou 1 dernière qui s'éteigne.

SOLUTION

La soitinie proposée peut étrëj reçue à la fin de ^ première année si Fun ou l'autre de. quatre, di^ren événemens a lieu. i% ou les trojs têtes mo.urront dan l'année, A mourant le premier ou le dernier; a®, oi A et B mourront dans l'année , A mourant le premie et C étant encore vivant à la fin dë^'aunée; 3**. ou I et C mourront dans l'année, A mourant le premie et B étaqt encore vivant à h fînj^e,,r^Lanée; 4'. oi seulement A mourra dans Vanoé^, ^ B. et. C viv^t>a encore à la fin de cette ann^e«^ Lfs probabilités re&piectîves de cés.différens événem,enssont

3abc ' nabc '

expressions qui, étant ajoutées enisemble et mdtt-^ pliéespar-^î(i ■+• p)*^*,- donneront l'espérance qu'on a

( ^97 ) de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais à la fin de la seconde année et des suivantes^ le capital désigné peut être reçu si Tun quelconque de sept différens événemens a lieu. i\ Ou toutes les têtes mourront dans Tannée, A étant mort le premier ou le dernier, a?, ou A et B mourront dans l'année^ A étant mort le premier et C étant encore vivant à la fin de Tannée; 3*. ou A et C mourront dans Tannée, A mourant le premier et B étant encore vivant à la fin de Tannée; 4^. ou seulement A mourra dans l'année et B et C seront encore vivans à la fin de l'année; 5". ou A et B mourront dans Tannée , A mourant le dernier et C étant mort dans Tune des années précédentes; 6*. ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le dernier et B étant mort dans une des années précédentes; 7*. ou seulement A mourra dans l'année, B et C étant morts dans une des années, précédentes. Les probabilités de ces divers événemenspour la seconde année sont respectivement

ii\^n

3aÔ€ ' /2abc '

^ ^abc * aoc '

i ^-a").(.b'- b-) /^ c\ ia'-afUc'-c') / b'^ lab \ c / * aac \ b >

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par J (i + p)""*, donneront Tespérance qu'on ^ de recevoir la somme à la fin de la seconde année.

( 19» ) De la même manière nous ponvons trouver les espé-? rauces qu'où a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes tes années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine y et la somme de toutes ces valeurs annuelles sera la valeur totale actuelle de la somme proposée , payable aux conditions ci-dessus.

Ces diverses espérances annuelles, étant réduites à leur plus simple expression et disposées les unes sous les autres, formeront dix- huit séries verticales, dont la somme sera trouvée égale à

Corollaire.

267. Quand les trois têtes sont égales, ou. ^ même âge que A, cette expression (d'après ce <J^^ a été dit dans le corollaire du problème XX%))

devient égale à . x " ~ t(^^ -^^ ^:^ J^^ , c'est-à-

dire égale à la différence entre les valeurs d'une ^ surance de la somme proposée sur une seule t£te

(i) On obtiendrait également celte formule en prenant la somme des valeurs trouve'es au moyen des problèmes XX^^

et XXXI ; ou en prenant la différence entre s X f^Ti; et la valeur trouvée au moyen du problème XXX.

( '99 ) et sur OD groupe de deux têtes , pins les deux tiers de la Taléur d'une assurance de la même somme sur le groupe des trois tête.<;.

Scùlt'e,

208. Si Ton ajoute ensemble les valeurs actuelles de la somme proposée , trouvées au moyen des problèmes XXXn , XXXtlI et XXXIV, elles seront trouvées égales à deux fois la valeur actuelle de la même somme, payable au décès de A, c'est-à-dire que la somme de ces trois valeurs sera égale à

d + ri'