PROBLÊME XXXV
269. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A ou de B, pourvu que Y une de ces deux têtes soit la première qui s'éteigne de trois têtes données A , B , C.
soiiHTiaif...
La somoae proposée peut être reçue à k fin d'une année quelconque, si l'un ou l'autre de six évéuemens différeus a lien , I^ ou toutes les têtes Jâtiourront dans l'année ,^ A ou B mourant le premier ; 2"". ou A et B mourront tous deux dans Tannée , et C vivra encore à la fin de l'année ; 3®. ou A et C mourront tous deux dans l'année , A mourant le
premier et B étant encore vivant à la fin de l'année ; 4** ou B et C mourront tous deux dans l'année , B mourant le premier et A étant encore vivant à la fin de l'année ; 5^. ou seulei^ent A mourra dans l'année, et B et C seront encore vivans à la fin de Tannée; ô"". ou seulement B mourra dans l'année , et A et C seront encore vivans à la fin de l'année. Les probabilités de ces divers événemens, pour la première année , sont respectivement
Sûbc ' abc ' 2.abc '
{b—b').{c^c')d (a^€l)b'd {b ^b')dc' 2abc ' abc abc '
expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par «y(i+f)""*> donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.
De la même manière , on peut trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année , de la troisième et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres, comme dans le problème XXIX, formeront la série suivante :
4 /Aabc ^b'cf;, clhc ^ ah'c' al/e . t^bc' . îwAc'
6^X+p) \ ohc abe abc abc abc abc abc
s /^a'b'c' \ii'Ve* d'Ve , a'èV a'h^c' . a"Vc" icib'c"
6(i+f)*\ t^c ohc abc abc abc abc -'—
B(ï-f-fi*V ^bc abc abc abc abc abc
etc. etc. etc. etc. etc. etc. etc.
iQt la somme sera la valeur totale actuelle deandée.
270. Mais, si nous comparons cette série gênéie avec celle de la page ijS , nous verrons que i diverses séries verticales dont elle est composée Qt presque les mêmes que celles données à cette ge, et la seule différence qui les distingue est us le multiple commun , et dans le signe dont sont Fectées la cinquième et la sixième séries verticales. iT conséquent , la somine de ces diverses séries peut Te facilement obtenue de la manière employée plus aut. Ainsi, la première et la seconde séries verliales seront trouvées égales à
la troisième et la quatrième, égales à
jpr-(i + A'BC)d
^J^BC.a,'];
6aL (i+ç) la cinquième et la sixième égales à
f yOxI./
^^ la septième et la huitième, égales à
( aoa ) Donc I la valeur totale de la série générale donnée ci-dessus sera égale à s multiplié par
Comme j'aurai occasion de me référer à cette formule dans quelques-uns des problèmes suivans/il sera convenable de la représenter par une exprès* sion plus, simple; soit donc JB^ cette expression, c'est-à-dire désignons par JB^ la valeur actuelle de I fr. , payable aux conditions ci-dessus; par conséquent, s X -^^ désignera la valeur actuelle delà somme proposée dépendant des mêmes circons* tances (i).
271. Quand les trois têtes sont éigales, ou dfl même âge que A , les trois derniers termes de l'expression ci-dessus se détruisent fun l'amtne ^ et l série entière se réduit alors à
2j 1 — %AAA
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(i) En comparant celte formule à la seconde formule c
