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+ etc.
sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée
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58. Donc (si nous appelons AÀ^ AAAj etc., la yaleur d'une annuitésur un groupe de deux, trois^ etc., têtes ^ales) la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes, toutes de Tàge de A , sera
S'il n'y avait que 2 têtes, cette formule deviendrait iA — A A; s'il y en avait trois, elle serait ZA — "iAA
+JAA; quatre, 4-^ — 6ÀA'-\r 4 ^^^ — AAAA; et ainsi de suite.
Voyez , pour l'application de ce corollaire, la question Y LU du chapitre XU.
Corollaite 2.
S9« Si nous vanlons déterminer la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès, et différée du délai n, il sera évident (d'après ce qui a été dit au prob. I, cor. 5), que les diverses séries verticales de lapâge4i ne doivent commencer qu^au(n-f-i)^ terme, et continuer alors jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. Bouc la valeur de Tannuîté diflfêrée demandée sera égale à A^+B^+ C'— [ABf^ [ACy --{BCY+{ABCf^ expression que je désignerai parZ''. Or si nous substituons à chacune de ces quantités sa valeur correspondante d*après les principes du n* 44, la formule que nous désignons par L^ deviendra
ee-
expression plus commode pour Tusage , et dont of^ peut déduire la règle suivaate. •
60. Substituez dans la règle générale du problème les valeurs des annuités différées sur une ou plusieurs !^ têtes , aux valeurs des annuités payables dtiranttoiite ■ Fexistence des mêmes têtes , et. opérez comme la règl^ jy rindique avec ces valeurs substituées; le résuljtat sera r Fannuité demandée. f ^
Y oyez, pour Tapplication de ce- corollaire » la. f «question XI du chapitre XI^. ^
CorqUaire 3. j'
61 . Si la j ouissanpe d'une annuité , payable jusqa*au ' dernier décès d'un nombre quelconque de têtes , et différée d'ua nombre d'années /i^ dépeud: encore de l'existence simiUtauée dé toutes les têtes à Fexpiratioa i
de ces n aimées^ sa.valetirsera égale à £*">< rr^^^"^)**! \
c'est-à-dire égale à lia valeur d'une annuité pa^abi^ | jusqu'au dernier décès, d'uji même npmbre de tètes \ plus âgées chacune de n anpécis que les têtes pro-. : posées y multipliée par l'espérance que le g[roi^e d(S ces. têtes a 4e recevoir i fr, à l'expiration de ce délais \ et cette question doit êti*e* çoigneusemeut distinguée, t de celle qui i^ fait l'objet du dernier corollaire.
Voyez ^ pour l'application de ce corollaire t. h scolie de la question \ï, au chapitre X.!!.
Corollaire 4.
G2« Après avoir trouvé^ au moyen du second i corollaire de ce problème , la valeur d'une annuité ;
•e, payable jusqu'au dernier décès d'un nombfe mque de têtes ^ nous pourrons aisément déterlà valeur dune annuité temporaire dans les 3 circonstances; il suffira de prendre la difféentre cette annuité différée , et la valeur d'une ible annuité immédiate trouvée parla formule problème. Ainsi la formule L — L^ désignera )us les cas la valeur de cette annuité temporaire ; ironsdéjà trouvé une formule semblable Bun''4/&, 3t des groupes de têtes.
ez, pour l'application de ce corollaire^ la m XII du chapitre XII.
PROBLÈBIE m.
Trouver la valeur d'une annuité sur un nomelconque de tètes , cette annuité n'étant payable ni qu'un nombre déterminé d'entre elles ^ n , eront ensemble.
SOLUTION
int Ay By C^. .. . les têtes sur lesquelles rel'annuité , et désignons , comme au n"^ 23 , les [)ilités que chacune des têtes a de subsister i y
. • . ans. Maintenant^ si nous restreignons cette 3n à celle d'une annuité sur trois têtes^ payable l'il en existera deux^ il est évident que la chance a de recevoir l'annuité une année quelconque dra de l'un de ces quatre événemens différens :
les trois têtes subsisteront ensemble à la fin te année y événement dont la probabilité ést^
pour la première année, — r- ; 2**. ou A et B seronf alors vivans et C mort, événement dont la probabilité est, pour la première année, -^ X \\ — ^ J;
5*. ou A et C seront alors vivans et B mort, événement dont la probabilité est, pour la même année,
l£l X (i — J^) ; 4^ ou enHn B et C seront alors
vivans et A mort, événement dont la probabilité est,
pour la même année, 'T'^\} — ^\ Donc la somme
de ces quatre chances , ou —, — | — r-X C^"^"')"f'
^^V Tj^T^^V a)— ab ^ ac^hc
T — , étant multipliée par (i + p)"* donnera la
valeur actuelle de la rente de la première année , ou Fespérance qu'on a de recevoir cette somme, payable si deux quelconques des têtes proposées survivent à la première année. En raisonnant de la même ma-
merc, on trouvera que -^ + 4- ^ — --,
multiplié par (i — f)""*, donnera la valeur actuelk de la rente de la seconde année. De même encore^
^""V ^^J^ W^ ^^VÊIJÊJÊ
-Eb-^-^+-br - -^ï^,maltipliepar(i4-rr
donnera la valeur actuelle de la rente de la troisième année ^ et ainsi de suite pour toutes les années sui* vantes, jusqu'aus^ dernières limites de la vie hu** maine, et la somme de toutes ces espérances, ou la
(47) série
sert la valeur totale actuelle de Fannuité demandée.
64. Mais si uous ajoutons séparément^ comme dans leproblème précédent, les quantités de chaque colonne Terticale , et que nous fassions usage des caractères du problème I j corollaire i » l'expression ci-dessus deviendra AB -f- ^(7+ BC— ^ABC, d'où Ton tire la règle suiyante pour résoudre la question qui Qous occupe.
De la somme des valeurs d'une annuité sur les trois groupes de deux tètes provenant de la combinaison des têtes proposées , retranchez la double valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes ; le reste sera la valeur d'une annuité payable tant que deux de ces têtes subsisteront ensemble*
Voyez , pour l'application de ce corollaire y la <{uestion X du chapitre XII.
85. En raifionnant de la même manière ^ on trouva la valeur d'une annuité sur quatre tètes, payable tant qu'il en subsistera d&ux ou trois (les autres latstions qui s'appliquent à ces têtes étant déjà réolaes àxûA \^ deux problèmes précédens), et en aoéral la valeur d'une annuité sur un nombre quel* onqne de têtes , payable seulement tant qu'il en sub-
Et
(48 J sistera un nombre déterminé. Toutefois , comme il est bien rare qu'il s'agisse^ dans la pratique , de plus de trois tètes , je me contenterai d'indiquer la for* mule générale qui comprend tous les cas possibles de ces trois problèmes , sans développer les raisonnemens qui y conduisent. Désignons donc la somme | des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de -i têtes provenant de la combinaison n k n des tètes *; proposées^ par S, (/i+ i) à (w+i), par S', (w+2) ï à (n 4- 2) l^SLV S'j et ainsi de suite. Alors , la valeur l d'une annuité sur un nombre quelconque de tètes, t payable aussi long-temps qu'il en subsistera un nombre \ déterminé n , sera représentée par i
Corollaire i.
66. Si l'annuité n'est pas payable pendant toute l'existence des têtes proposées^ mais est ou différée . ou temporaire y nous devrons raisonner comme nous l'avons fait au problème II, corollaires 2 et 4^ ^^ nous trouverons que la valeur d'une annuité différée, payable tant que deux de trois têtes données subsis' teront, sera exprimée par {ABY + {jiCY'^{BCf — 2{ABCY; donc si, dans la formule du n* 64, nous substituons aux valeurs d'une annuité pour toute lexistence des têtes proposées, celles d'une au" unité différée sur les mêmes têtes, nous obtiendrons la valeur de l'annuité différée avec la circonstance qui fait l'objet de ce problème.
Et cette valeur, retranchée de celle d'une semblable aonaité pour toute la durée de l'existence des têtes proposées, donnera la valeur d'une semblable anmité temporaire sur deux quelconques des trois êtes données.
CoroUaîre 2.
67. Si cette annuité différée dépend de l'existence imnltanée de toutes les têtes proposées à Te^ipiration b délai dont elle est différée , sa valeur sera égale à a v&leur d'une annuité semblable sur un même nom- )pe de têtes plus âgées chacune que les têtes proposées d'un nombre d'années égal à ce délai , multipliée Mir l'espérance que le groupe de ces têtes a de receroîr I fr. à l'expiration de ce délai; et l'on doit disinguer soigneusement cette question de celle qu'a résolue la première partie du corollaire précédent.
