PROBLÈME H

55. Trouver la valeur dVue annuité payable .jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de tètes.

SOLUTION

Soient A f Bf Cf ... .les tètes sur lesquelles est cooBtitoéq Ifanuuît^ p et désignais comilae sru x^"" 23 les {«obabililés que, chaque tâte a dd fiiihsifller i y 2, i.... 4ns. A}0rs^J#.:pr9ft»abilhéque l'^i^;^j[|; Vautre ^e ces tètes a^de subsista k \a fia delà preoHiière aouée-

sera d'après \e n* !i6 2 1 — f i — — J x (i — -r-J i~~)xetc.= - + ^ + - + etc.-^

~":5r ~ "Sr — ^|^^+-5^+«^Ct expression qm

étant muhîpliée par ( i «4*- f )*'*» oa laTakor actuelle de I fr* payable dans un ao , donnera la valeur actaelle de la rente de la première année, ou l'espérance qa'on a dte recevoir cette rente, Tone quelconque des têtes subsistant à la fin de la première année. De la même manière, la probabilité que l'une ou l'autre des tètes proposées a de subsister a la fin Ide la seconde an-*

a ^ ' « ah oc

— -g^ — — etc. + -=-T — + etc., cette expressiOB

multipliée par ( i + p)**^ ou la valeur actueUe de 1 it. payable dans deux ans , donnera la valeur actuelle de la rente de la seconde année « De même encore

rexpression i ~ ( i ~ jl) x (i -^) X (i -f ) X etc. == — 4- r- 4 H" etc. •- r

a * b ^ c ^ au ac

-^ -T-- — etc. 4 T — •+• etc. , étant multipliéepar

( I + pY"^ donnera- k valeur actuelle de la Fente de 1^ troisième année. Et ainsi dé suite ip0ur toutes les années suivantes, jusqu àuxi éemières limites de la vie humaine, et la somme de toutes ces espérances par-

lielles, ou la série

;--— ^ f -. -I- -H f-elc. r ctc -h — — -f etc. )

(i*f>f) \a e mb ac he abc /

+ - — —r-l — -f- rH- — +etc. r etc.-* — +otc. j

(l*f-p)*VA oc ab ac bc abc /

(i-f^)*\« b c ab ac bc abc J

+ Ctc.

sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée.

56. Mais la première colonne verticale de cette expression est la valeur d'une annuité sur la tête A ; la seconde est la valeur d'une annuité sur la tête B; latroisième est la valeur d'une annuité sur la té te C ; etc. De la même manière, les quatrième > cinquième^ et sixième colonnes verticales sont les valeui^s d'une annuité sur les groupes de tètes AB, AC, BC, etc., et ainsi de suite. Doncsi nous substituons respectivement àcesvaleurs les caractères adoptés au prpb, I^ cor. i . la formule générale deviendra -^ -f- J5 + (7 + etc. - AB—^Â C—B C — etc.+ ABC+ etc. , et par conséquent la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès des têtes proposées, est égale à là somme des valeurs d'une annuité sur chacune de ces têtes isolément y moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes que forment ces têtes en les cômbinantdeuk à deux ; plus la.somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes que forment ces têtes eu les combinant trois à trois ; moins la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes qu elles forment en les combinant quatre à quatre, et ainsi de suite. Donc, quand on donne les valeurs d'une annuité surcha-

Cime des tètes proposées et sur les divers groupes pro^ venant de leur combinaison , il est facile de déterminer la valeur d'une annuité payable jusqu'à leur derniei décès. Pour la facilité des raisonoemens» j'appeUerai L cette voleur, et j'aurai soin toutes les fois que je ferai usage de ce caractère, d'indiquer lemmibre de tètes sur lesqueUes repose l'annuité.

Voyez, pour l'application de ce prc^ème,^ ls& questions VHI et IX du chapitre XÎI.

Corollaire i.

57. Si toutes les tètes sont égales, ou du même %( que A et que leur nombre soit représenté par n , alors la probabilité que l'une ou Tautre de ces tètes a do sub«^ sister après un an, deux ans,^ trois ans, etc., sera représentée respectivement par

Si l'on développe ces quantités au moyen de la formule du binôme , et qu'on les multiplie respectivement par la valeur actuelle de i fr. payable après ces divers délais, leur somme, ou la série