QUESTION I

371 • Trouver la probabilité qu'une tête ou plusieurs têtes d'un âge quelconque , ont d'exister à la fia d'un nombre quelconque d'années , d'après une table quelconque d'observations.

SOLUTION

Dans le cas d'une seule tête , cette probabilité est * une fraction dont le dénominateur est le nombre de personnes vivantes à l'âge donné , et dont le numérateur est le nombre de personnes vivantes à ua âge plus avancé que l'âge donné de l'espace désigné.

Quand il s'agit d-ua groupe de plusieurs têtes; elle T. IL I

est le produit des probabilités que chacune des teces isolément a d'exister à la fin de Tespace donné. {^oyez 25.)

Exemple i. La probabilité qu'une personne âgée de ao ans , a de subsister 5o ans ou d'atteindre l'âge de 5o ans y est, d'après les observations de M. De-

parcieux données à la table III , égale à ^-y. La

probabilité qu'une personne âgée de 4^ ans a de subsister 3o ans y ou d'atteindre l'âge de 70 ans , est

d'après les mêmes observations^ égale à 7^7-.

Mais la probabilité que ces deux personnes ont

de subsister simultanément 3o ans est égale à ^-j

multiplié par gg- ; c'est-à-dire égale à §ôt-^*

Exemple 2. La probabilité qu'un homme âgé de 46 ans a d'atteindre 1 âge de 56 ans , ou de subsister 10 ans^ est^ d'après les observations faites en Suède ,

données à la table XIV , égale à -^^ ; et la probabilité qu'une femme âgée de 40 ans a d'atteindre l'âge de 5o ans, ou de subsister 10 ans, est d'après

les mêmes observations , égale à j-|^ .

Mais la probabilité que ces deux personnes ont de subsister simultanément 10 ans, est égale a ^^

multiplié par |^ , c'est-à-dire égale à ^-^^y Exemple 5. Le» probabilités que trois têtes âgées

(3) de 20 f 5o et 40 ans ont de subsister i5 ans^ sont, d'après les observations faites à Northampton, données à la table XXV, respectivement égales à 1^ ,

Mais la probabilité que toutes ces têtes ont de subsister simultanément i5 ans, est égale au produit des trois fractions Tune par l'autre , donc cette pro-

babilite sera représentée par g-g — ^05" •

Scolie.

372. Après avoir ainsi trouvé la probabilité que plusieurs têtes réunies ont de subsister simultanément à la fin d'un espace donné, nous pourrons aisément déterminer la probabilité que l'une ou Foutre de ces têtes a de vivre pendant cet espace. Car, quand il s'agit de deux têtes, la probabilité dont nous parlons sera égale à la différence entre la pro* babilité que les têtes réunies ont de subsister simultanément à la fin de l'espace donné, et la sommé des probabilités que chaque tête isolément a de vivre pendant ce même espace.

Ain^ , dans le premier exemple , la probabilité que l'une ou Tautre de deux têtes , âgées de 20 et 40 ans,

a de subsister 3o ans , est égale à ^^ . ^ retranché

j 634057/ j j M.-M.' 58i ^ 3io\

^^ S^^ (^somme des deux quantités ^ et gg^J;

ce qui donne ga/I^g ponv la probabilité demandée'^

Et la probabilité que l'une ou l'autre des deux têtes mentionnées au second exemple a de subsister

,o ans, est égale à i||||| retranché de f^7£|L« f somme des deux quantités ^-^ et ^^ j : ce qui

donne 330^ 7^3 pour la probabilité demandée.

De la même manière la probabilité que Tune ou l'autre de trois têtes données a de subsister à la fin d'un espace donné , se trouve en retranchant la somme des probabilités que chaque couple de têtes réunies a de subsister pendant cet espace^ de la somme des probabilités que chaque tête isolément , et les trois têtes réunies ont de subsister pendant cet espace , conformément aux principes exposés au problème 2.