QUESTION II
373. Trouver V espérance mathématique qu'une tête quelconque ou plusieurs têtes ont de recevoir une somme désignée ^ après un nombre quelconque d'années.
SOLUTION
Multipliez la valeur actuelle de la somme par la
probabilité que la tête donnée ou les têtes données ont de subsister à la fin du délai fixé ; le produit sera la valeur demandée.
Exemple i. Quelle est la valeur actuelle de i fr. payable dans 3o ans , pourvu qu'une personne actuellement âgée de 20 ans, subsiste à cette époque : l'intérêt étant supposé de 4 7 pour cent, et la mor-
talitë conforme aux observations de M. Deparcieux.
La valeur actuelle de i fr. payable dans 3o ans ,,
sans aucune autre condition ^ est d'après la table L VIII
égale à 0^26700; et la probabilité qu'une personne
âgée de 20 ans a de subsister 5o ans est ^ d'après la
question précédente^ égale à ^y : donc ces deux
quantités multipliées Tune par Tautre produiront 0,1906 pour la valeur demandée.
De la même manière l'espérance qu'on a de rece^ voir cette somme après le même nombre d'années ^ pourvu qu'une personne âgée de ^o ans subsiste à
cette époque, est égale à g«- multiplié par 0,26700 ,.
ce qui donne 0,1 ^SpS pour la valeur demandée- Mais si l'espérance dépend de l'existence simula
tanée de ces deux têtes à l'époque fixée , alors ^^ — tt
multiplié par 0,26700, produira 0,08992 pour la valeur demandée.
Et si elle dépendait de l'existence de l'une quelconque de ces têtes à l'époque fixée, alors ^q/^tI
(ou la valeur trouvée par le scolie du n** 572), étant multiplié par 0,26700 produirait 0,22665 pour la valeur de Tespérance dans le cas proposé.
Exemple 2. Un homme âgé de 46 ans doit à l'expiration d'un bail qui a encore i o ans à courir , recevoir une somme de i fr. pourvu qu'il vive à cette époque ; quelle est l'espérance qu'il a de la recevoir, l'intérêt étant de 4 ^U et la mortalité conforme aux observations faites en Suède?
lia valeur actuelle de i fr. payable certainement
dans loans est d'après la table LVIII , égale 30,67566;
et la probabilité qu'un homme âgé de 4^ ans a de
vivre 10 ans est, d'après la question précédente, égale
à ^-2? j donc ces deux quantités multipliées en-
semble produiront 0,52406 pour la valeur demandée. Si la somme dépendait de l'existence d'une Jemme
âgée de 4^ ans, alors ^-^i multiplié par 0,67556
produirait 0,67479 pour la valeur demandée.
Mais si elle dépendait de l'existence simultanée de ces deux personnes à la fin de l'espace donné,
alors "Hgoi"^ multiplié par 0,67656 produirait
0,44^^9 poui* la valeur demandée.
Et si elle dépendait de l'existence de l'une quelconque de ces deux têtes à cette époque , alors
'888^/ "3 '^^l^^pl^^ P^^ 0,67666 produirait 0,66296 pour la valeur demandée.
Scolie.
574. Au moyen de la solution générale que nous venons de donner, on peut déterminer toutes
les questions relatives à la valeur des capitaux constitués comme dots a des etifans. Ainsi, supposons qu'un individu ait un fils âgé de ipans, à qui il désire assurer 100 fr. à sa majorité; la somme qu'il devra compter pour cette assurance (l'intérêt étant supposé à 5 p* 100 et la mortalité conforme aux
observations de M. Deparcieux) est égale à g— mul-
(7) tiplié par ôi^Sgi ; ce qui donne 56,^4^9 P^^^ ^ valeur demandée.
Dans les tarife publiés par la compagnie d assurance du Globe, et par l'Institution Prévoyante^ les primes demandées pour assurer des dots aux enfans sont en général aussi élevées (et depuis Tàge de g ans et au-dessus elles le sont même davantage) que les valeurs actuelles^ à 5 p. loo d'escompte d'une somme de loo fr. payable certainement à la fin du terme fixé sans aucune autre condition. Par exemple , le Globe demande 62 fr. 55 c. et la Pré-» ayante 62 fr. pour assurer un capital de 100 fr. payable à un enfant de 1 1 ans quand il aura atteint 21 ans; tandis que chacune de ces sommes aug-« mentée de ses intérêts capitalisés à 5 p. 100 produirait plus de 100 fr. après un même espace de temps, sans qu'on soit exposé à la chance de tout perdre par le décès de Fenfant survenu dans cet espace. Je ne crois pas quil existe quelqu'un ssseit aveugle sur ses propres intérêts pour risquer son argent d'une manière aussi absurde.
QUESTION m.
375. Trouver la valeur d'une annuité reposant sur une seule tête.
SOLUTION
Cette valeur se détermine par la seule inspection des tables; car dans celles qui montrent la valeur d'une annuité sur une seule tête , nous trouverons la valeur demandée en regard de l'âge propose.
Suivant les diffërens faux d'intérêt marqués en tête de chaque colonne (i).
Exemple i • La valeur d'une annuité sur une tête âgée de 20 ans en supposant l'intérêt à 4 ï P* 100 et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux, est d'après la table V, égale à 16,624, ou à environ 16 fois | la rente.
Si la tête avait /^o ans , la valeur serait trouvée égale à 1 4^254; ou si dans ces deux cas l'intérêt était de 5 p. 100, les valeurs respectives seraient 15,4^9 et 15,459.
Exemple 2. La valeur d^une annuité sur la tête d'un homme âgé de 46 ans , si Ton suppose l'intérêt à 4 P« 100 et la mortalité conforme aux observations faites en Suède, est d'après la table XVI, égale
à 12,297; ^^ ^ ^^ P^^ P^^^ de 12 fois ~ la rente.
Si l'annuité était constituée sur la tête d'une femme âgée de 40 ^ns, la valeur serait égale à i4y4^^ ' ^^f si dans ces deux cas le taux de l'intérêt était de 5 p. 100, les valeurs respectives seraient 1 1,1 55 et I 2,856,
(i) Au moyen de la valeur actuelle d'une annuité de i fr. nous pourrons aisément déterminer Vannuité qui devrait être servie pour un capi lai versé immédiatement : il suffira de di* viser ce capital par la valeur actuelle trouvée précédemment. Ainsi, si une personne de vingt ans plaçait une somme de 4000 fr. pour se constituer une annuité viagère , le montant de cette annuité s'obtiendrait en divisant 4000 par 16,624 , ^^ Itérait donc égal à 24^9^'^* ^^tte règle est universelle, et il sera inutile de la répéter pour tous les cas suivans.
