QUESTION V

580. Trouver la valeur d'une annuité sur un groupe de trois têtes.

SOLUTION

Voyez les tables XLIII et XLIV , et si les trois têtes ont le même âge commun , ou si leur différence dage est lo ou^to ans, la valeur d'une annuité dépendant de leur existence simultanée y sera trouvée exactement exprimée*

Exemple. La valeur d'une annuité sur trois têtes réunies y âgées de 20, 3o et 40 ans, Tintérêt étant supposé à 4 P* 1 00 , et la mortalité conforme aux ta* Lies de Northampton, est égale à 8,986; mais si toutes les têtes avaient 20 ans, la valeur serait trouyée ^ale à 10,542, ou si toutes avaient 40 ans, la valeur serait 7,865.

Scolie,

381, U se trouve malheureusement que les deux tables précitées sont les seules qui aient été publiées pour déterminer les valeurs des annuités sur trois têtes réunies. Les calculs nécessaires pour construire ces tables sont si laborieux , et les combinaisons des âges si variées , qu'il se passera selon les apparences bien des années avant que personne entreprenne de finir ce qui a été commencé; et jusqu'à ce qu'on en vienne là nous pouvons faire usage de la règle facile et générale, donnée par M. Simpson, pour trouver les valeurs des annuités sur trois têtes réunies quelconques d'après les valeurs sur deux têtes.

» Soit A la plus jeune , et C la plus vieille des trois

» têtes proposées. Prenez la valeur d'une annuité sur

» les deux têtes réunies B çt C, et trouvez l'âge d'une T. II. 2

» seuletêteDquîcorrespondeàla même valeur. Alors » trouvez la valeur d'une annuité sur les deux têtes » réunies A et D ; ce sera la valeur demandée. »

Exemple. Quelle est la valeur d'une annuité sur trois têtes réunies, âgées de lo, 20 et 3o ans; l'Intérêt étant à 4 P« 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de Northampton ?

La valeur d^une annuité sur les deux têtes réunies de %o et 3o ans est , d'après la table XXX , égale à 1 1,873, qui, comparé aux valeurs de la table XXVII, sera trouvé égal à la valeur d'une annuité sur une seule téta D, âgée de 47 ans }^ , ou 47 ans et un mois ; et la valeur d'une annuité sur les têtes réunies A et D (c'est-à-dire sur deux têles réunies, âgées de 10 et 47 ans â^), est, d'après la règle du scolie ci-dessus , égale à 10,474^ ^^^ ^^* '^ valeur demandée. Si les deux plus vieilles têtes avaient toutes deux 40 ans , et la plus jeune 20 , la valeur d'une annuité sur ces deux têtes réunies serait , d'après la table XXVIII , égale à 9,820 , répondant à une seule tête D , âgée de 56 ans 4^; et la valeur d'une annuité sur les têtes réunies A et D (c'est*à-dire sur deux têtes réunies de 20 et 56 jH) serait égale à 8,601 , qui est la valeur demandée pour une annuité sur trois têtes réunies de 20, 4o et 40 ans.

Ou bien , si les deux plus jeunes têtes avaient 20 ans, et ta plus vieille ^o ans, alors la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, âgées de 20 et 40 ans, serait, d'après la table XXXII, égale à 10,924^ répondant à une seule tête, âgée de 5 1 ans 7^1; et la valeur d'une annuité sur les deux têtes A et D (c'est-à-dire

snr deux têtes réunies , âgées de 20 et 5 1 ans ~4|) serait égale à g,4^6, valeur demandée pour une annuité sur trois têtes réunies de no, 20 et 40 ans.

La table suivante (calculée d'après les observations de Northampton , et l'intérêt de 4 P* 100) montrera combien la règle expliquée plus haut approche sensiblement des véritables valeurs données aux tables XLIIIetXLIV.