QUESTION IV

546. Trouver la valeur d'une annuité reposant sur un groupe de deux têtes.

SOLUTION

Ouvrez les tables qui montrent les valeurs des annuités sur un groupe de têtes de tous âges; et si les deux têtes sont du même âge , ou si leur différence d'âge est comprise dans les limites des tables^ vous trouverez en regard la valeur d'une annuité dépendant de leur existence simultanée.

Exemple i. La valeur d'une annuité sur uu groupe de deux têtes âgées de olO et 4o ans^ l'intérêt étant supposé à 4 t p« loo et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux, est d'après la table IX, égale à 1 2,545, ou à un peu plus de 12 fois ^ la rente.

Si les deux têtes avaient 20 ans , la valeur serait d'après la table VI, égale à 14^004; ou si toutes deux avaient 40 ans, elle serait 11,710.

Exemple 2. La valeur d'une annuité reposant sur les têtes réunies d'un homme âgé de 46 ans et de SA femme âgée de /^o ans, en supposant l'intérêt à 4 p* 100 et la mortalité conforme aux observations faites en Suède, est d'après la table XYIII, égale

Si les deux têtes avaient 40 ans, la valeur serait, d'après la table XYII, égale à 10,964; ou, si elles avaient toutes deux 46 ans, la valeur serait 9,736,

( îo)

Scolie,

377. Si la différence d'âge entre les deux têtes est un nombre d'années non indiqué dans les tables, la valeur demandée peut s'obtenir aisément au moyen de la règle suivante..

Trouvez y dans les tables^ la valeur d^une annuité sur un groupe de deux têtes dont la différence d'âge quoique plus grande^ soit en même temps le plus rapprochée possible de la différence d'âge entre les têtes proposées; et dont la plus vieille soit du même âge que la plus vieille des têtes proposées. Trouvez aussi , d'après les mêmes tables , la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes dont la différerrce d'âge soit moindre que celle des têtes proposées de la plus petite quantité possible ; et dont la plus vieille soit également du même âge que la plus vieille des têtes proposées. Alors ^ la i'% 2', 5* moyenne arithmétique entre la plus petite et la plus grande de ces deux valeurs sera la valeur demandée ; selon que l'une des têtes proposées est de i , a, 3 années plus jeune que l'autre.

Exemple i . Soit proposé de trouver la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes âgées de Z2 et 5o ans, l'intérêt étant supposé à 4 i p* 100, et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.

La différence d'âge plus grande que celle qui existe entre ces deux têtes , et en même temps la plus rapprochée d'elle, est 20; et la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies dont la différence d'âge est 20 ans et dont la plus vieille a le même

âge qne la plus vieille des têtes proposées (c^est-àdire la valeur d'aoe annuité sur deux tètes de 5o et de 5o ans), est d'après la table IX égale à io,6i i. La valeur d'une annuité sur deux têtes réunies dont la différence d'âge est moindre que 20 de la plus petite quantité possible (cest-à-dire dont la différence d'âge est 10 ans), et dont la plus vielle est du même âge que la plus vieille des têtes proposées (c'est-àdire , la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 40 et 5o ans)^ est d'après la table VIII, égale à 1 0,274* Donc, telles étant les valeurs d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 3o et 5o ans, et sur deux têtes réunies âgées de 4^ ^^ ^^ ^^^f il est évident que la valeur d'une annuité sur deux tètes réunies âgées de Z2 et de 5o ans , sera sensiblement égale à la moindre de ces deux valeurs augmentée des huit dixièmes de la différence qui les sépare , ou , ce qui est la même chose , égale à la plus grande valeur diminuée des deux dixièmes de la difrence. Or, la différence entre ces valeurs est 0,337; le dixième en est égala o,o337, et les deux dixièmes sont par conséquent égaux 30,067. Donc, 10,611, diminué de 0,067, donnera 1 o,544pour la valeur demandée d'une annuitésur deux têtes réunies âgées de 32 et 5o ans. Exemple 2. Soit proposé de trouver la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 20 et de 60 ans; on suppose l'intérêt â 4 P* 100, et la mortalité conforme aux observations faites en Suède. La différence d'âge plus grande que la différence de ces deux têtes, et en même temps le plus rapprochée possible, est /^2 : et la valeur d'une annuité sur

deux têtes reunies dont la différence d'âge est 4^ ans, et dont la plus vieille est du même âge que la plus vieille des têtes proposées (c'est-à-dire dont la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies de 1 8 et 60 ans) est ^ d'après la table XXIV, égale à 8,208. La valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, dont la différence d'âge est moindre que j^o de la plus petite quantité possible, et dont la plus vieille est également du même âge que la plus vieille des têtes proposées (c'està-dire la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies , de 24 et 60 ans) est, d'après la table XXIII, égale à 8,097, Donc, telles étant les valeurs d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 18 et 60 ans, et sur deux têtes réunies âgées de 24 et 60 ans, il s'ensuit que la valeur d'une annuité sur les têtes réunies de 20 et 60 ans sera sensiblement égale à la moindre de ces deux valeurs augmentée des | de leur différence. Or, cette différence étant égale à 0,111, le sixième de celte différence sera o,oi85, et les | de cette différence seront 0,074, qui , ajoutés à 8,097 don-* neront 8,171 pour la valeur demandée d'une annuité sur deux têtes réunies de 20 et 60 ans.

Exemple 3. Soit proposé de trouver la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 26 et 60 ans; en supposant l'intérêt à 5 p. 100 , et la mortalité conforme aux observations de Northampton? La différence d'âge plus grande que la différence entre ces deux têtes, mais en même temps la plus rapprochée, est 35 : et la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, dont la différence d'âge est 55, et dont la plus vieille est égale à la plus vieille de§

( i3) têtes proposées (c'est-à-dire la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 25 et 60 ans)^ est d'après la table XXXV, égale à 7,583. La valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, dont la différence d'âge est de 5 ans moindre qne 55, et dont la plus vieille est aussi du même âge que la plus vieille des têtes proposées (c'est-à-dire la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 3o et 60 ans), est, d'après la table XXXIV, égale à 7,292. Donc, telles étant les valeurs d'une annuité sur deux têtes réunies âgées de 2S et 60 ans, et sur deux têtes réunies âgées de 3o et 60 ans , il s'ensuit que la valeur d'une annuité sur les deux têtes réunies de 26 et 60 ans, sera sensiblement égale à la moindre de ces valeurs, augmentée des | de leur différence , ou sensiblement égale à la plus grande diminuée du cinquième de leur différence. Maintenant cette différence étant 0,091, le cinquième en est égal à 0,018, qui, retranché de 7,385 , donnera 7,365 pour la valeur demandée d'une annuité sur deux têtes réunies de 26 et 60 ans.

378. Puisque les tables des valeurs des annuités sur deux têtes réunies, d'après les observations de M. Deparcieux, ne sont calculées que pour les têtes dont la différence d'âge est 10 ans, il est évident que la méthode que nous venons d'exposer ( pour déterminer les valeurs des annuités sur deux têtes réunies, dont la différence d'âge est tout nombre intermédiaire), sera moins exacte appliquée à ces tables qu'elle ne le serait appliquée à celles déduites

des observations faites en Suèdes où la différence d'âge est 6 ans; et aucune de ces deux sortes de tables ne donnera la valeur, pour ces âges intermédiaires , aussi correctement que les tables calculées d'après les observations faites à Northampton^ où la différence d'âge est 5 ans. Dans aucun de ces cas Terreur ne sera considérable, mais dans le dernier cas particulièrement, celui où les tables montrent les valeurs des annuités sur deux têtes Véunies de tous âges , dont la différence n'est pas plus de 5 ans , l'erreur est si peu de chose, qu'on peut la considérer comme nulle. C'est ce qu'on verra évidemment d'après la comparaison suivante , donnée par le D' Price dans ses Observations sur les paiemens en rei^ersion{\), vol. II , p. 359 , des valeurs des annuités sur deux têtes réunies des âges ci-après, déduites des observations de Northampton^ combinées avec un intérêt de 5 p. loo.

A6BS. ^

VALEURS DIAPRES LA RÉGU

E. TALECRS EXACTES.

18 et 14

]8 et i5

18 et 16

18 et 17

45 et 3i

45 et 32

45 et 33

45 et 34

66 et 27

66 et 28

66 et 2g

66 et 3q

(i) Observations on Rever^ionary Pajrments,

La conformité est eijicore plus grande quand Fintérêt est plus élevé.

Le D' Price trouva les élémens de cette comparaison dans les tables dont se sert la Société Équitable , qui a calculé minutieusement jusqu'à quatre décimales^ daprès les observations de Northampton et l'intérêt de 3 p. 10O9 les valeurs des annuités sur deux tètes réunies pour toute différence cTdge possible.

57&. Quand une des têtes données est âgée de moins de 10 ans, on doit^ pour faire usage de cette règle , avoir particulièrement égard à Tordre de la différence entre les valeurs données par les tables, c'est-à-dire observer si cette diflFérence est croissante ou décroissante. Par exemple, supposons qu'on ait à de'terminer la valeur d'une annuité sur deux têtes réanies âgées de 9 et 5o ans , l'intérêt étant à 3 p. loo, et la mortalité conforme aux tables de Northampton : la règle nous prescrit de prendre la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, de 5 et 3o ans, et sur deux têtes réunies, de 10 et 3oans, valeurs qui sont respectivement égales à 15,762 et r4,i5o. Alors 0,078 (ou le cinquième de leur différence) étant retranché delà dernière valeur, donnera 14^072 pour la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies , de 9 et 5o ans; Mais la comparaison suivante montrera combien ce ré' sultatest incorrect; car si nous prenant les vialeursdes annuités sur les divers groupes de têteé ci-déss6tis, soit

5 et 3o = 13,762 10 et 3o = i^f}So i5 et 3o = 13,734 ^

20 et 3o = i3y286 25 et 3o = 12,966 3o et 3o = i2^58g

On verra qu en commençant par la fin , les valeurs s'accroissent graduellement jusqu'aux âges de lo et 5o ans ^ et que par conséquent la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies , dont l'une a 3o ans et l'autre un âge compris entre 10 et 5o, sera calculée avec assez d'exactitude au moyen de la règle ci-dessus. Il en serait de même à l'égard de la valeur des annuités sur deux têtes réunies, dont l'une aurait 5o ans et l'autre un âge quelconque au-dessous de 10 SLUS, pourvu que la décroissance commençât exactement à l'âge de 10 ans; mais il est probable que la décroissance ne commence à se faire sentir qu'aux âges réunis de 8 et 3o ans ; par conséquent la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies de 9 et 3o ans^ est plus grande que i4>i5o, au lieu d'être moindre. Donc , la manière convenable de trouver la valeur d'une annuité sur les têtes réunies de 9 et 3o ans sera de prendre Oyo85 (ou le cinquième de la différence entre i4>i5o et 13,734) et de l'ajouter à 14^150; ce qui donnera 1 4^233 pour la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies, âgées de 9 et de 3o ans. Ces particularités n'ont jamais été remarquées par d'autres auteurs , quoiqu'elles se présentent souvent dans la pratique.