QUESTION VI
582. Trouver la valeur d'une annuité différée sur une ou plusieurs têtes.
SOLUTION
Trouvez la valeur d'une annuité sur une ou plusieurs têtes plus âgées ^^hacune que la tête ou les têtes données d'un nombre dannées égal à celui dont est différée la jouissance de l'annuité; trouvez aussi l'espérance que la tête donnée ou les têtes données ont de recevoir i fr. à la fin de ce délai; le produit de ces deux quantités sera la réponse à la question proposée. {Voyez 45.)
Exemple i. Une personne âgée de 20 ans veut acheter une annuité pour le reste de sa vie après un délai de 3o ans; quelle en est la valeur actuelle , en supposant l'intérêt à 4 î p* 100 et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.
La valeur d'une annuité sur une tète âgée de 5o ans, est, d'après la table V, égale à 11,921 ; et lespérance qu'une tête âgée de 20 ans a de recevoir I fr. après 5o ans est, d'après la question II , égale à 0,1906 : donc 11,921 multiplié par 0,1906 donnera 2,272 pour la valeur demandée.
Si la personne avait 40 ans , la valeur serait trouvée égale à 6,221 multiplié par 0^1260; ce qui donne 0,784 pour la valeur demandée.
Exemple 2. Un homme âgé aujourd'hui de 46 ans doit dans 10 ans entrer en possession d'une annuité reposant sur sa tête ; quelle en est la valeur actuelle , en supposant l'intérêt à 4p« 100 et la mortalité conforme aux observations faites en Suède ?
La valeur d'une annuité sur l'existence d'un homme âgé de 56 ans est d'après la table XVI égale à 9,717,. et l'espérance qu'un homme âgé de 46 ans a de recevoir I fr. après 10 ans est, d'après la question II; égale à 0,6241 ; donc , si l'on multiplie ensemble ces deux quantités, on aura 5,095 pour la valeur demandée.
Si le titulaire était une femme âgée de 4^ ^^^f alprs 12,049 multiplié par 0,6748 donnerait 6^926 pour la valeur demandée.
Exemple S. Deux personnes âgées de 20 et 40 ans -désirent acheter une annuité ppur le reste de leur existence simultanée après un délai de 3o ans; quelle en est aujourd'hui la valeur, 0p supposant l'intérêt à 4 î p*; 100 et ia mortalité 'conforme aux observations de M. Depavcîeux ? »
La valeur d'une annuité sur deut têtes réunies âgées de 5o et 70 ans, est^ d'après la table IX ^ égale à 5,617 ; et l'espérance que deux têtes réunies, âgées de 20 et 40 ans, ont de recevoir i fr. après 3o ans est, d'après la question II, égale à 0,0899; ^^^^ ^^ produit de ces deux quantités donnera 0,496 pour la valeur demandée.
Exemple 4. Un homme âgé de 46 ans iet s^Jemtm âgée de ^o ans doivent recevoir une annuité sut leur existence simultanée, api^ un délai de 10 ans ; quelle est la valeur de cette annuité , en supposant la mortalité conforme aux observations faites en Suède et le taux de l'intérêt â 4 p* too.
La valeur d'une annuité sur les tét^s réunies de deux personnes, dont un homme ^e 56 ans et une Jemme de 5o ans , est d'après la table XVIII , égale à 7,874^ qui multiplié par 0,4469 (valeur de l'espérance que deux têtes réunies, de 4^ ^^ 4^ ans, oat de recevoir i fr. après 10 an6 , comme nous l'a^ vous trouvé à la question II) produira 3^5i i pour la valeur demandée,
Scoliç.
385. Si , au lieu de déterminer en un seul paiement la valeur d'une annuité différée, on en voulait déterhiiner la valeiw en primes annuièllès payables pendant le délai dont est différée l'annuité , on obtiendrait aisément le montant de cette prime annuelle au moyen de la règle, suivante.
Divisez la valeur de l'annuité en iin seul paiemeoLt par l'unité ajoutée à la valeur d'utte annuité tempo-
faire sur les mêmes tètes, payable pendant une année de moins que le délai fixé : le quotient sera la prime annuelle demandée. {F^oyez 366.)
Exemple i • Une personne âgée de 20 ans désire acheter une annuité pour le reste de son existence après un délai de 3o ans , quelle somme aura-t-elle à pajner annuellement j\is(\v!k la fin de ce délai pour qu'elle lui soit assurée ? on suppose llntérét à 4 î p. 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.
La valeur de cette annuité différée en un seul paiement est , d'après le premier exemple de cette question, égale à 2^:27:2 ; et la valeur d'une semblable annuité temporaire pour 29 ans est , d'aprè$ la règle de la question (i) qui suit, égale à i4>i6i; donc 2,273 divisé par i5,i6i donnera o,i5o povï la valeur de la prime annuelle payable pendant le délai dont est différée l'annuité.
De la même manière nous pouvons déterminer la valeur en primes annuelles d'une annuité sur :1a ïêie d'une femme , pour le reste de «ou exisb^wte après un espace de ^o ans, en supposaul; l'iirtérêt
(i) I^ç^JY^le suivante «tonne un moyen plus domnuodâ pour déterminer la valeur de ces annuités temporaires. A la TiJettr de l'annuité' différée^ ajoutez l'espérance que les têtes proposées ont de recevoir i fr. à la fin du délai fixé ; retranchez la somme de la valeur d'une annuité sur les têtes proposées y le reste sera la valeur d'une annuité temporaire, pajrable penir .dont un an de moins que le délai fixé, '
pourvu qu'il vive pendant cette période ; quelle est la valeur de son usufruit, en supposant Tintérêt à 4 p. loo et la mortalité conforme aux observations faites en Stiède?
La valeur d'ûn^ annuité sur celte tète est d'après la table XVI égale à i2,ii9'; f ^* ^^ valeur d'une annuité sur la même tête , différée de i o ans , est d'après la question VI > égale à 6,093 j par conséquent la différence entre ces deux valeurs , ou 7,204 > sera la valeur demandée.
Si la rente était constituée sur la tête de sa femme âgée de ^o ans, 'alors 7,475, ou la différence entre 14,4^^ ^* 6,926, serait la valeur de l'annuité temporaire dans le cas proposé.
QUESTION VIÏI.
585. Trouver la valeur d'une annuité, payable jusqu'au dernier décès de deux têtes.
SOLUTION
ï)e ïa somme des valeurs d'uue annuité sur cba- ■^(îûiie des deux têtes considérée îsoléméut , retranchez la valeur d'une annuité sur les deux têtes réunies , le resté sera la valeur dematidée.. (^07-^2 56.)
..: Ex^nple In Quelle est la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès, de deux têtes âgées dj5 ae et 4o ans^ l'intérêt étant à 4 î P* 100, et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux ?
Les valeurs A'unfe àiiuuîté sur les deux têtes isolément èont , d'après la table V, égalés à 16,624 et
(^7) i4t^49 ^^^^ ^ somme est 50,878 ; dotic à, nous en retranchons 12,545 1 ou la valeur d'une annuité sar les deux têtes reunies , d'après la table IX , le reste ou 1 8,353 sera la valeur demandée.
Si les âges proposées étaient 5o et 70 ans, la somme des valeurs d*nne annuité sur ces têtes isolément serait, d'après la table V, i î^gai + 6,221 s=s 18,142» et la valeur d'une annuité sur ces têtes réunies serait, d'après la table IXf égale à 5^5i']i donc 12,6^5, ou la différence entre ces deux valeurs, serait la valeur d une annuité payable jusqu'au dernier décès des deux têtesr
Si les deux têtes avaient 20 ans , les valeurs d'une annuité sur ces têtes isolément seraient égales à deux fois 16,624 > c'est-'à-dire. égales à 55,248; et la valeur d'une annuité sur ces têtes réunies serait , d'après la table VI, éjgale à i4,ôo4? donc la différence entre ces deux valeurs, ou ig,244 ^ serait la valeur demandée. Exemple 2. Quelle est la valeur d'utte annuité |>ayablé jusqu'au derniei» décès de deux 'personnes, dont tm homfne âgé de 46 ans et nnefeminè de 40 , ^ ritotérêt étant supposé à 4 p. lôo et la mortalité conforme aux observations faites en Suède?
La valeur d'une annuité sur la tête de Yhotkme est, xl'après la table XVL, égale k 12,^97 j» et la valeur d'utoe annuité çUf ^^ tête de la, jfèmm^ ett i4j4o^ ; la sôfnnie diê ces deux quantités est 26^698, d'ovL nous retrancherons 10-^-286, valeur d'une annuité sijr le^rs *êté3 réu*î«s^: â*après la uWe XVHIj et la dif§fençe> ou 16,41 2# sera la valeur d'une annuité payable jtasqu'au dernier décès des deux têté^
- Si les detix têtes avaient lo ails de plus , ou 56 et'5o ans, alors la somme des valeurs d'une annuité Sur ces tétés isolément serait, d'après la table XVI, 9,7i7-f-i2jo49=2i,']766, et la valeur d'une annuité sui» ces têtes réunies serait, d'après la table XVIII, égale à 7,874? donc 13,892, ou la différence entre ces deux quantités, serait la valeur demandée. . Si les deux têtes avaietit 40 ans, 10,964 retranché de 28,069 donnerait 1 7, i o5 pour la valeur demandée.
