KI— F

x t Tv dE Le second facteur varie de mn 0 lorsque T croît de 4 à 3° il est

donc également toujours positif.

La dérivée du facteur exponentiel privé de son signe — étant

constamment positive, il en résulte que lorsque T’, c’est-à-dire le

frottement F croît, le termee décroit, donc «..

Gette conclusion est très intéressante, car un méme type d'appareil pourra servir aux grands comme aux petits bâtiments. Il suffira de faire varier convenablement la valeur du couple amortisseur en passant de l’un à l'autre navire.

Les conditions aux limites se comprennent aisément :

— = |, iln'ya pas d'amortissement.

T Tee , : FC 0e reset KI— EF —0), l'amortissement est infini, c'est là le

cas de l’apériodicité critique. L’exponentielle se présente sous la

forme œ X 0, On sait que sa vraie valeur est l'unité et que, dans ce cas, l’élongation est donnée par la relation :

Lx, — (DD) X 2.

$ 36. — Système amortisseur à réaction d'air. — Maintenant que nous avons terminé avec ces considérations théoriques un peu ardues, mais dont l'importance pratique ne peut échapper ainsi que nous l'avons fait voir ci-dessus ($ 35, 2), nous allons décrire un système amortisseur à réaction d’air qui donne une solution du pro. blème, mais qui offre, toutefois, de très graves défauts.

Le système propo.é utilise la variation de l’angle @ lorsque la ‘rose oscille autour du méridien. Nous rappelons (voir $ 18) que

l’angle 8 est proportionnel à la vitesse de l’oscillation et que le mouvement de 0 a lieu dans le plan vertical passant par l’axe de rotation du tore.

Le gyroscope est établi sous la forme d’une pompe centrifuge qui aspire de l'air et le projette par une buse qui est obturée plus ou moins par un registre dont le déplacement est proportionnel à 0. La réaction du jet d'air crée donc une force variable.

Le gyroscope g est enfermé dans une boîte b complètement fermée. L'air est aspiré, suivant l’axe, par de petites ouïes o, et est rejeté par la buse a, dont le plan d’ouverture est parallèle à l’axe du tore. À la paroï latérale /, de la boîte b, est suspendu un pendule p qui oscille autour d’un axe xx, et qui porte à son extrémité inférieure un registrer, de surface convenable, qui se déplace devant la buse a.

L’air qui s'échappe de la buse se trouve divisé en deux jets, 7, et j,, qui donnent lieu à une réaction qui tend à faire tourner la boîte b autour de l'axe de suspension, et, par suite, l’axe du tore, dont les paliers sont fixés sur la boîte, et la rose des vents solidaire de la boîte.

Si les deux jets, j, et j, sont égaux en force, c’est-à-dire, en somme, si les ouvertures de la buse sont égales de part et d'autre du registre, les deux forces de réaction étant égales s’annulent l’une l’autre et la boîte à reste immobile.

Mais, si une des ouvertures devient plus grande que l’autre, un couple différentiel prend naissance, qui fait tourner la botte b dans un sens déterminé.

On conçoit donc que l’on peut disposer convenablement l’appareil, afin que l'effet du couple différentiel de réaction soit toujours opposé au couple qui provoque l’oscillation de la rose autour du méridien et, par suile, amortisse le mouvement d’oscillation de la rose autour du méridien.

Il est facile de se rendre compte que ce couple est bien proportionnel à l’angle 0 du pendule et de l’axe de suspension du 2 yroscope.

Soient 20 l'angle d'ouverture de la buse, et 0, l’angle qui correspond à l’obturation du pendule.

o est l’inclinaison de l’axe de suspension du gyroscope sur la verticale.

Les couples dus à la réaction du jet d'air sont proportionnels :

‘ pe ; 0 rs à droite à : (a 2 —0) x sin 0 — —— |},

x D à +0 à gauche à : (0 — 240) x sin Ne oo. :

Fig. 12 En posant : () re > —k, EÙ,E 0, WE —#

Le couple amortisseur peut s’écrire, à une constante près : (k, +0) X sin : (Es 0) —(& —0) X sin à (+0), et, comme les angles 0 sont toujours très petits, il vient : (k, +0) (ka — 0) — (k, —0) (ka + 0) — 20 (4, — k,). Le couple amortisseur est donc bien proportionnel à 0, c’est-à-

Ter. AL RO ie dire à la vilesse Fe de l’oscillation de la rose autour du méridien.

Les équations du $ 33 sont donc rigoureusement applicables ici.

$ 37. — Discussion du système amortisseur à jet d'air. — Le système amortisseur à réaction d’air remplit bien la première condition exigée au $ 32. Il ne crée évidemment aucun frottement lorsque la rose est en équilibre. Mais il ne satisfait pas à la seconde condition, car l'annulation du couple amortisseur résulte de l'égalité de deux couples de sens contraire, mais jamais nuls. Et ce n’est qu’à l’Équateur que l'axe de suspension du tore sera vertical, lorsque l’axe de rotation sera dans le plan méridien.

En tout autre lieu de la terre, l’axe de rotation du tore étant dans le plan méridien, l'axe de suspension fera avec la verticale un angle 0. Il en résultera immédiatement un couple déviateur créé par les jets d’air, et l’appareil déviera d’un angle « qu’il est facile de calculer. Remarquons de suite que. cette déviation est indépendante du cap.

Pour des raisons analogues, une variation dans la vitesse de rotation du tore, donnant lieu à une variation de 6, fera dévier le compas. Celte déviation n’est pas, on le voit, un effet de la perturbation signalée au $ 30, mais elle est bel et bien due à la réalisation du système amortisseur du gyroscope. Ceci constitue un très gros inconvénient quand le réseau électrique sur lequel est branché l'appareil est soumis à d’importantes variations de voltage (sousmarins) ; il en résulte que si le voltage varie souvent, le Nord ne sera jamais donné avec toute la précision que permet le compas gyroscopique.

$ 38. — Calcul de l'erreur due au système amortisseur dans les changements en latitude. — Il suffit d'introduire dans les équations générales d'équilibre (7), le couple 9t = F0, dû au système amortisseur.

La seconde équation devient ainsi :

5wQ, —F0—0.

ou 3wQ cos L sin « — F0 — 0,

et, comme l'angle « est petit, on en déduit :

Be 0

D'autre part, on se rappelle que la valeur de 0 en fonction des

données, est pratiquement : (Voir $ 21, IL, e).

__JwQsinL 7 Mya D'où :

Fe F taog L Mya

Dans l'hémisphère Nord, L est négatif, nous aurons donc une

déviation « Est, et Ouest dans l'hémisphère Sud.

La déviation est infinie aux pôles : en effet, la force directrice est alors nulle : sous l’action du système amortisseur, le compas tournera

indéfiniment.

Dans la pratique, on corrigera cette erreur en déplaçant de l'angle « dans le sens convenable, la ligne de foi placée sur la cuvette.

Si le bâtiment doit toujours naviguer

au même lieu de la terre, sans effectuer de grands changements de latitude, par exemple, un sous-marin affecté à la défense de tel ou tel port, on pourra régler appareil pour annuler l’erreur dans ce port.

Il suffit pour cela de placer sur l’appareil des poids convenables pour annuler angle 8 en cet endroit. Le calcul de ce poids est simple.

$ 39. — Calcul des poids qu'il faut ajouter à l'appareil pour annuler l'angle & en un lieu donné de la terre. — Soit L,, la latitude de ce lieu. Nous appelons ! la distance du

lo # fie Ep

Fig. 13.

centre de gravité du poids additionnel mg au point de suspension O, et y l’angle de O9 avec l’axe de suspension du gyroscope. Il suffit d'introduire dans les équations d'équilibre (7) ie couple

supplémentaire :

mgl sin (0 + y).

Il vient alors :

— 9 Q sin L, cos0 +3 «wQ cos L, cos a«sin 04 Mga sin 0 mglsin(0+Y)=:0.

ou, puisque dans la position d'équilibre 0 est petit et que lon doit avoir « — 0:

—9wQ sin L,+3wQ cosL, X 0 + Mga0+ mgl0 cos y + mgl sin y — 0 d'où l’on tire :

*® J6Q sin L, — mgl sin y 360 cos L, + Mga + mgl cos y:

L'expression de 8 ne peut être nulle qui si:

mgl sin y = ŸwQ sin L,.

Cette expression détermine mgl sin y.

Où voit que dans l'hémisphère Nord, L, étant négatif, l'angle y doit ètre négatif, c'est-à-dire que les poids sont à ajouter du côté du pôle Nord de l’axe du tore. Ceci est évident, a priori, d’après les considérations du $ 21 (IL, a).

Évidemment, l'addition du poids mg, modifiant la valeur de Mg, modifie la valeur primitive de 0. Pour faire un calcul rigoureux, il faudrait procéder par approximations successives ; mais, étant donnée la très faible valeur de 0, l'emploi d’une pareille méthode n’est nullement indiqué ici.

Le réglage fait pour la latitude L, n’est plus valable pour une latitude quelconque L. A cette latitude L, la déviation « sera donnée par la relation :

F G= Me (tang L — tang L;)

comme il résulte du $ 38.

La déviation sera Est pour les latitudes au Nord de L,, et Ouest pour celles au Sud de L,.

$ 40. — Autre remarque sur le système d'amortissement à réaction d'air. — Il convient encore de remarquer que pour avoir un appareil facilement utilisable, il faut, devant l'énorme valeur de la période, avoir un amortissement considérable. Mais alors la position d'équilibre est beaucoup moins bien déterminée.

En d’autres lermes, avec un grand amortissement, les dévialions balistiques seront petites, il est vrai, mais la précision du Nord sera moindre qu'avec un faible amortissement.

$ 41. — Compas gyroscopique Lemaire, — Nous avons imaginé un système amortisseur absolument différent du système à air dont on vient de voir les très gros inconvénients.

Cet appareil a été breveté par Monsieur Doignon, et est construit par lui avec une haute compétence, à laquelle il nous plaît ici de rendre hommage en priant Monsieur Doignon d’agréer tous nos remerciements pour les soins méliculeux et raisonnés apportés à la construction.

Nous n’en ferons pas ici ni la théorie qui mène à des calculs assez compliqués, ni la description qui serait un peu longue et d’ailleurs, dans cet ouvrage purement théorique, ce n’est pas le lieu de décrire des dispositifs de construction.

Le système amortisseur de notre compas répond très rigoureusement aux conditions du $ 32. Il ne crée aucun frottement lorsque la rose est au Nord et il est absolument indépendant de la latitude; le couple amortisseur est rigoureusement nul lorsque la rose est au Nord, car ce couple ne résulte pas de la différence de deux couples inverses. La rose ne pourra donc plus dévier sous l’influence d’une variation de voltage.

Enfin la position du Nord est très précise malgré un amortissement considérable. Le calcul montre en effet, que, dans Le cas où le frottement est proportionnel au carré de la vitesse, le décrément logarithmique des oscillations est fonction directe de l’amplitude de l’oscillation; par suite le couple amortisseur est également fonction de l’amplitude des oscillations. II en résulte que pour des oscillations très petites, la valeur du couple amortisseur unité devient également petite, ce qui permet de compter sur une précision absolue des indications du compas.

Notre syslème amortisseur combine en effet l’amortissement proportionnel à la vitesse avec l’amortissement proportionnel au carré de la vitesse, le second mode d’amortissement n’entrant en action que pour les amplitudes très faibles des oscillations de la rose, amplitudes de l’ordre du degré.

Nous allons récapituler les propriétés du compas gyroscopique afin de bien faire ressortir les gros avantages que présente cet appareil.

40 — ['axe d’un gyroscope suspendu de façon que le centre de gravité se trouve en dessous du point de suspension, s'oriente dans le plan du méridien géographique. Dans la position d'équilibre la rotation du tore et de la terre devant se faire dans le même sens, il en résulte que le compas gyroscopique possède véritablement, tout comme l'aiguille aimantée, un pôle Nord et un pôle Sud.

20 — Le compas gyroscopique placé à bord d’un navire immobile, ou à terre, donne d'une façon mathématique la direction du Nord géographique sans aucune erreur possible.

A l’Équateur, lorsque le compas est arrivé dans cette position d'équilibre, le plan de la rose est horizontal.

Il est facile, en tout lieu de la terre, de maintenir horizontal le plan de la rose au moyen de petites masses additionnelles correctrices. Le calcul de ces poids résulte d’une formule géométrique parfaitement déterminée.

Dans ces conditions, la bulle d’air d’un petit niveau de pente placé sur la rose et dont l'axe est parallèle à la ligne Nord-Sud tracéc sur cette rose, se maintiendra toujours au milieu du niveau lorsque le compas indiquera le Nord.

Si la bulle n’est pas au milieu du niveau, on peut être assuré que le compas n'indique pas le Nord.

. Si la bulle se tient au Sud du niveau, le compas possède un cap à l'Ouest du Nord. Au contraire le compas possède un cap à l'Est du Nord si la bulle est au Nord du niveau.

Ainsi le compas gyroscopique réglé et muni d'un niveau de pente indiquera lui-même à l'observateur s'il peut se fier à ses indications.

30 — À bord d’un navire qui fait roule, le compas gyroscopique

de \

possède une légère variation que donne une formule géométriqne parfaitement déterminée.

La correction à effectuer est si faible qu'il n’y a vraiment lieu d'en tenir compte que si l’on fait une grande traversée comme c’est, par exemple, le cas des paquebots.

La variation est la même en grandeur et en signe dans l’hémisphère Nord et dans l'hémisphère Sad. Elle est également la même en grandeur que la route soit à l’Est ou à l'Ouest du méridien, mais son signe change suivant que la route est Nord ou Sud.

Les mêmes conclusions relatives à la bulle de niveau s'appliquent ici, mais il est bien entendu que la bulle se tient au milieu du niveau lorsque le compas indique le cap vrai qu’il possède, c'est-à-dire le Nord géographique augmenté algébriquement de la varialion pour la route et la vitesse actuelles.

40 — Au moment précis où le navire modifie son allure ou sa route, le compas gyroscopique dévie. On ne peut corriger celte déviation qui est balistique, mais par une construction raisonnée de l’instrument, on peut toujours s'arranger pour que l’élongation maxima ne dépasse pas la limite que l’on s’est fixée à l’avance ; pratiquement l’élongation balistique maxima est de l’ordre de 2° tout au plus. La valeur de l’élongation maxima dépend de la valeur de la période des oscillations de l’appareil. Le calcul montre que cette période doit être pratiquement de l’ordre de 60 à 80 minutes. Il convient donc de ne compter sur les indications précises de linstrument qu'environ deux heures après qu’on l’a mis en marche.

1l existe d'ailleurs une période bien déterminée pour laquelle le compas n’oscille pas lors d'un changement de route ou d'allure.

Enfin il résulte encore de ces remarques qu’il est nécessaire d’indiquer au constructeur le type de bâtiment sur lequel on se propose d'utiliser l'appareil, car on voit que sur les gros bâtiments on pourra choisir des périodes relativement faibles, alors que les grandes périodes sont de toute nécessité sur les petits bâtiments.

De plus, lorqu'un compas gyroscopique est ainsi utilisé sur le bätiment qui lui convient, les déviations dues au roulis el au tangage sont pratiquement nulles.

50 — Pour terminer, nous insisterons encore d'une façon particulière sur ce fait qu’un compas gyroscopique, dont l'orientation est le

résultat d'un théorème de Mécanique rationnelle, est très rigoureusement insensible aux influences magnétiques quelle que soit leur provenance. Il donne la direction du Nord géographique et ne possède aucune variation présentant un caractère aussi empirique qu'une variation de compas magnétique.

C'est donc par excellence le compas étalon, et sa place se trouve tout indiquée sur les sous-marins, dans les blockhauss el les fonds des cuirassés, sur les paquebots rapides ou les cargo-boats qui n’ont pas toujours les loisirs de régler les compas magnétiques malgré le danger que peut présenter pour la navigation le fret nouveau embarqué avant l’appareillage.

A ce litre, le compas gyroscopique est appelé à rendre à la marine «en fer eten acier » les services précieux que Paiguille aimantée a rendus à la marine « en bois ».

Octobre 1909.

Note sur la valeur de la rotation propre dans le compas gyroscopique.

La rotation propre 4 dans le compas gyroscopique est sans doute très pelite, mais ii est inexact de dire qu’elle est nulle.

Reprenons la figure 6, mais en supposant que la ligne des nœuds OA ne coïncide pas avec Oy.

Les conventions du $ 9 sont conservées.

Pour plus de commodité, nous emploierons l'angle de précession + au lieu de Ÿ, et angle de rotation propre 8 au lieu de e.

Il est d’ailleurs facile de voir sur la figure que les angles 0 et « sont positifs, 6 est négalif.

Pre et:

Rte

puisque OA perpendiculaire par definition à Oz et à Oz’ est, par suite, perpendiculaire à OC et à OB qui sont contenus dans le plan z’0z.

Expressions de p, q, r. — En projetant p, q, r, Qz, Q,, Q:, O, «7, 8’, 0’ respectivement sur OA, OB, Oz, on obtient:

Projection OA OB | Oz sur = D — p sin p cos À 0 q q cos 8 qsin$ 0 r 0 0 de œ/ 0 SNL C4 cos 6 g' 0 0 nur CL (1 0 0.