CHAPITRE PREMIER
Le nombre algébrique et le corps algébrique.
Si. — Le coups algébrique et les corps algébriques conjugués.
Un nombre % est dit un nombre algébrique s'il satisfait à une équation de degré m de la forme
y- + at « + a, a + . . . + am = o
où à,, a„, ..., am sont des nombres rationnels.
Soient *, (3, ..., 7. des nombres algébriques quelconques en nombre fini, toutes
les fonctions rationnelles à coefficients entiers de a, fi •/. forment 1111 système
fermé de nombres algébriques que l'on nomme Corps de nombres, corps au domaine dé rationalité [Dedekind '■ -, Krpriecker16]. Comme en particulier la somme, la différence et le quotient de deux nombres d'un domaine de rationalité est encore un nombre de ce domaine, cette notion de domaine est un invariant relativement aux quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication, division.
Théorème i. — Dans tout corps k il existe un nombre 9 tel que tous les autres nombres du corps sont des fonctions rationnelles entières de 0 à coefficients rationnels.
Le degré m de l'équation de plus bas degré à coefficients rationnels satisfaite par 9 s'appelle le degré du corps k. Le nombre 0 est dit le nombre qui détermine le corps k.
L'équation de degré m est irréductible dans le domaine de rationalité des nombres rationnels.
Réciproquement, chaque racine d'une pareille équation irréductible détermine un corps de degré m.
Si 6', 6", .... 9('"I) sont les m — 1 autres racines de l'équation, les corps
k', k" /,.<'"-■> déterminés respectivement par 9', 6" 9'"1" *' sont dits les corps
conjugués du corps k.
Suit a un nombre quelconque du corps k et soit
a = c1 + c,ô + ...+cm9m^\ où c,, Cj c,„ sont des nombres rationnels, les nombres
*'=cl + cJj'+...+cJ}'"'-',
sont dits les nombres conjugués de a. ou encore les nombres issus de a par les substitutions
t'=(o : ft') t[i"-')~[H : e""-1').
§ 2. — Le nombre algébrique entier.
Le nombre a est dit un nombre entier algébrique ou toul simplement un nombre entier s'il satisfait à une équation de la forme
-j.m + a, a"'-1 -f as 7.'"-2 -t- . . . + am = o ,
où a , a '(„, sont des nombres rationnels et entiers.
Théorème 2. — Toute fonction entière F à coefficients entiers d'un nombre quelconque d'entiers y., (3, ... , y. est encore un nombre entier.
Démonstration. — Désignons par a', a" p', p" y.', •/.", ... les nombres conjugués à 7., p y. et formons toutes les expressions de la forme
F (a, [5 F (a', p y.). F (a. fi' y.). F (a, p ■/.'). F|Vp' y.)
le théorème connu sur les fonctions symétriques nous apprend que l'équation à laquelle satisfont ces expressions n'a que des coefficients entiers et que le coefficient de la plus haute puissance = 1 .
lui particulier, la somme, la différence et le produit de deux nombres entiers est un nombre entier. Le concept « entier » est un invariant pour les trois opérations : addition, soustraction, multiplication.
Le nombre entier ■• est dit divisible par le nombre entier x s'il existe un nombre entier 7 tel que ix=py.
Théorème 3. - Les racines d'une équation quelconque de degré /■ de la forme
a' + «, a''-1 + fls a''-2 + • • • + a,. = o
sont toujours drs nombres entiers, dès que les coefficients a,, a, aT sont des
nbres algébriques entiers.
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES AU iEURK il ES.
Théorème '\. — Lorsqu'un nombre entier algébrique est rationnel, il esl un nombre entier rationnel.
a Démonstration. — Si on avail »=-, a el l> étant rationnels entiers el premiers
entre eux el 6> i ■ el si x satisfait à une équation dont les coefficients a, a„ sonl
des entiers rationnels, on aurait, en multipliant par h'"~\
—■=— '/,'/'"-' - «Jmï"-2 - ... - ûn //"- = A où A est un nombre entier rationnel, ce qui esl impossible. [Dedekind*, K.ronecker"'.]
Si 3. — La norme, la différente, le discriminant d'un nombre. La hase dc corps.
Suit x un nombre quelconque du corps k el soient x' x'"'l1 les nombres conjugués à x, le produit
n(a) = aa' ... a""-"
est dit la norme du nombre a. La norme d'un nombre k est toujours un nombre rationnel. De plus, le produit
est la différente du nombre x. La différente d'un nombre est encore un nombre du corps /.-.
Car si l'on pose
-LTL
Enfin, le produit
est dit le discriminant de x.
Le discriminant d'un nombre rationnel est un nombre rationnel et au signe près il est égal à la norme de la différente; en effet
Si a est un nombre qui détermine le corps, sa différente et son discriminant sont différents de zéro. Réciproquement, si la différente et le discriminant d'un nombre sont différents de zéro, ce nombre détermine le corps.
Si » est entier, sa norme, sa différente et son discriminant sont entiers.
Théorème 5. - Dans tout corps de degré m, il existe m nombres entiers <,), w,, (<>,„ tels que tout autre entier du corps u puisse être représenté par
10 = (7,10, + atfi>s + • • • + «,„<•>,„,
où at, </.. ",„ sont des entiers rationnels.
Démonstration. — Si a est un nombre entier déterminant le corps, tout nombre w est représentable par
i" = rt + ra a + . . . + rm a
OÙ /',, r rm sont des nombres rationnels.
En passant aux nombres conjugués
il en résulte pour j=i,j m
II, a oj,
où \, comme fonction entière de a, y.', ..., a"*-1', w, oj', ..., iôu"~1) est un nombre entier. Comme, d'autre part, At est égal au nombre entier r/l(y.), A(, d'après le tbéorème 4, est un nombre entier rationnel. Tout nombre entier w peut donc être représenté par
,„ a, + AS ,.+ ...+ A,,,,'"-
où \,. A,, A );/ sont des entiers rationnels et où rf(a) est le discriminant de a.
Soit à nouveau s un nombre de la suite r, 2, m : supposons qu'on ait calculé
tous les nombres du corps de la forme
Jl]-
or
'-fOf,
+ OfV"'
rf(«)
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l3
où les 0, <>''', 0 , ... sont aes nombres entiers rationnels, aous pouvons admettre que 0,=|= o et qu'il est le plus grand commun diviseur des 0,, 1 1 '''. 0, , ... Uors les
m premiers nombres-correspondants u, <■>„, forment un système satisfaisant à la
condition demandée. En effet, ^nit un nombre u 1 1 1 i ~- m m s la forme | 1 1; d'après ce que
nous vei s de dire, on devra avoir \m = amOm où àm est un nombre rationnel, mais
alors la différence
