AR CE
+ (Le + Mo + Me + LE papa) ô3 é R'
où l’on a posé, avec les notations des 8$ 72 et 73,
— A) — (BTE) — (C7) TE) — (P')p,] — (Q'}pel — R'NP.},
— (nl — B'}En3] — (CE) ns] — (PMg] — (Q'Mg:) — R'Ags»
— (AI —(B) ER) — (CL) — (P')fri] — (Q fre] — (R') Cri]. | [PT = a (P7) + 8(Q) +.x CR),
te)
vi BO bBTBROBE Bb>
[QI= (27) + #(Q) + v'R).
Dix bQ DU DQ DE DE
= [R] = «"(P') + 8(Q) + Y'{R'), Pe—=— D {[A(E] + [PJ] (pd!
pr Ÿ {[B] 4] + (0 (pd } pu =— Ÿ { [CI] (EH + [RI] (pd }
avec des formules analogues pour p',, P'yys Pay 3 P'zss P'ysr P':: que l'on obtient en changeant [£;], {p:] respectivement en [n;], [qil, puis en [&;], fri], et en outre
deal.) +8 [P,] + v{P.),
J'y = (Q,l+8 (Q,1+ + [Qu Jr =2iR)+$8[R]+ 7% [Rl
avec des formules analogues pour q'2, Q'yys Q'2y 3 d'æzs My: ds que l'on obtient en changeant a, $, respectivement en «", f', y’, puis en +, f", y". Observons que a A'd'A" ot À dt A
peut, en vertu de la relation
TOR ER s’écrire o A’ 1 dA' à /A'dx à /A' dy à {A' dz ADI) di (LT) 2 (4) 2 (TE):
de même CPL EE
216 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES D'autre part, A’ — À, P'— P; il en résulte que l'on a :
dP'es OPus + OP'as 2 pee
7 dy oz CT E thide Pro tt 000 Ad et Me Mme Ms ob or D aoyea A oz LATE ETEE RS, drr dyx QE I dP ss G dy B dz a net hey ect Aide PAR LA Te die
avec des relations analogues.
La force et le moment extérieurs ont donc la même définition que dans les 8$ 62, 63; mais, ü n'en esl pas ainsi pour l'effort et le moment de déformation ; nous avons, d'après les S$ 72, 76
ner dede au (ee P zr —= Trz — Q À di’
(93) À Pur — Puy FRA a ER
| Pz P 22 = Ts — À dt?
avec des expressions analogues pour 7, Tyys T:y 3 Tzzs Tyzr Tzz Que l’on obtient par permutation circulaire de A, B, C et de x, y, z; en outre
ARR et
É Le la midi
(93’) ET ee ira P dz
zx Las IR A,
avec des expressions analogues pour %:,, Xyy» Yzy ? Xazs Xyzr Xz: que l’on obtient par permutation circulaire de P, Q, R et de x, y, z.
79. La méthode de l’action variable appliquée à la conception eulérienne de l'action exprimée avec les variables de Lagrange. — Nous allons encore développer la conception eulérienne de l’action avec les variables de Lacrancz. Nous partons de l’intégrale
ta [ [ il Wdx,dy,drsdt, CAT 80
où actuellement le champ d'intégration par rapport à x,, Yo À Varie avec le temps t, et correspond au champ d'intégration fixe décrit par le point (x, y, 2).
Suivant l'exposition de M. Jorpan, nous avons :
[4 3 # À [ iLs Wdrdydzdi EE rte d d +R ee TE Fr. (WG) +% Le je drodt,
où (ôxo), (yo), (8z0) sont définis par les formules (86), au moyen des auxiliaires ôx, dy, ôz.
La suite des calculs ressemble à celle que nous avons rencontrée dans la dynamique du milieu déformable ; toutefois, une différence s’introduit, en ce qui concerne les dérivées par rapport au temps; actuellement, on ne peut pas intervertir l’intégration par rapport au temps et l'intégration par rapport au champ des variables z,, y,, z,. On appliquera donc un raisonnement analogue à celui du $ 76. On n'introduira d'abord que des dérivées par rapport
au temps de la forme L en utilisant la formule
d0F dF 2% 2% + 28 2ÿo | dF 229
D din ox, ot pol ‘sn ot.
rot
de x, y, z, t que l’on tire des formules (66’). En utilisant les notations déjà introduites, la formule n VA peut s’écrire :
(94) TOME —-OË
désignent les dérivées par rapport à { des fonctions &,, Yo, Z
Si l’on a un terme de la forme
[ , f ïh il 9 2 dx dyodzodt, n 80 à re ce dxdydzdt, et, en intégrant par parties,
Jx L+ épi — [42 (4) er $ ff 4 cos [3 (2)
on l’écrira
218 THÉORIE DES CORPS DÉFORMABLES A HUE mue CONTE
c’est-à-dire, en revenant aux variables x,, Yo, Zo,
& b se Jonunaft [ff 2
Ceci posé, d’après les formules antérieures de la dynamique du milieu déformable et d’après (94), il vient, par des intégrations par parties,
3 J : ‘ il | W drdysdadt ta 80
=}. ff (Fo dx = Go'à'y + H,/3'z + I'd + J',03' + K'oôx') doodt t So ( |?
+) JU Are+pr + ane + par + Qu + Rx) dd | ble,
ur (X0' 9x + Yo d'y + 29/0 z + L'd1 + Mds + N,/ôk') drodyodzodt,
en posant Pt — (ED fm DE (En) nf (ED — (GE G=k LL JW—() em PORC qu HT — NET — CARRE EN, Lu oi "bn = ORPI EU EUR = NT + m M su “bn Or KE — (ND m M + QE — mr is = (Cr )+ (EE) CN oŸ — ) +Y (a sw na) ce as WW d à dCne: on = sa ae PRE CE
oW x) a/r aW oW oW SLA en) SRE SE
+2 H= a (R 0%) AE
“af Enr je EC Er) se (Ne os ce
we.
Sn a ee = (one 0) (on 0) + Fac)
+D( nr cn EN) “EM pe sur Tr 2 se (on Or) + DS 20%)
/: 20W 23W a oW 12W\ 2dW oW èW + er À AE es rtlion: ra DC aq Up, ie )+A (x mé )+p he HT ET Nous pouvons observer ee X5', par exemple, peut s'écrire, en vertu de (94), ER ET > EC Ci Didier 1 (L2420 , 20); 20).
À ot 20 2Ÿo dZo / d$
or on a
= RAC) AOEE|e
À ot dTo dYo dZ0 et par suite X;/ a la méme valeur
D do a
Pl S ( à W aW M + doW Jet èW que duns le 8 62 ; la méme remarque s'applique à Y » Lo’, Lo, Mo, N'o Mais, il n’en est pas ainsi pour l'effort et le moment de déformation ; par des transformations faciles, on retrouve encore les relations (93) et (93/) du $ 78.
80. La notion de radiation de l'énergie de déformation et de mouvement. Nous avons vu que la densité de l'énergie de déformation et de mouvement, exprimée en fonction des arguments lagrangiens et rapportée à l'espace (x,, Yo: Zo) est
L s GB Eee EP en a ro 10 Me oops We
cette même densité, rapportée à l’espace (x, y, z) et exprimée au moyen dé la fonction © des arguments eulériens (4), (ns), (&), (ps), (qi), (ri) 3 (6), (n), @),
(p), (a), (r) est (96) L = (+) 0 + (n) % +O% +0 + +(r) M
Ce résultat s'obtient soit en transformant l'expression (95) au moyen des relations que nous avons indiquées précédemment entre les arguments lagran-
giens et les arguments eulériens, soit en répétant directement le raisonnement du 8 65 sur le travail élémentaire
F | J[]. GX + nYo! + 820 + pLo' + 9Ms' + rNo')drodyodzo
— [fe + 0G + Hi! + pl; + qe + rKs')dso 80 :
des forces et moments extérieurs et des efforts et moments de déformation extérieurs, s’exerçant sur la portion (M) du milieu qu'occupe à l'instant { la portion (M) de l’état naturel. Nous retrouvons, par cette dernière voie, pour ce travail élémentaire, l'expression
a 1 qi D dre | ;
Q étant supposé indépendant de t.
Si nous observons qu'on a l'identité suivante :
id » à) 2 (FR Œ o {E dz ls F 3x lis 1) +S Qu) employée par M. Porncaré, dans le mémoire que nous avons cité au 8 "77, et
qui s’applique à une fonction quelconque, nous arrivons, pour le travail élémentaire considéré, à la nouvelle expression suivante :
2 E dt jai à 113 dxdydz E 4) E dy G dz + JJ]. BG) +249)+249 fer | ou
97) dz Ma ff Eee TE + eee
La seconde intégrale dans (97) exprime le flux d'énergie de déformation et de mouvement à travers une surface fire S dans le corps déformé.
Considérons maintenant la conception eulérienne de l’action. Nous avons constaté, dans les SS précédents, que les valeurs des forces et moments extérieurs restent les mêmes, mais que dans les expressions des efforts Pis Pons Pres disparaissent les termes suivants :
À dæ TE : Le Fi No À dt” F5 Partie
et, dans les expressions des moments de déformation xs Erys Az: les termes suivants :
P dx
Lrz — A dt’ Q dx
Xv—— Ad?
__Rd Las — 4?
avec des expressions analogues pour les quantités x, ty, Ty: 22) Re net Lux Xuus Xuzs Xszs Xays Xz Î résulte de là qu’au travail élémentaire obtenu dans le cas précédent doit s’ajouter une nouvelle intégrale de surface, qui a pour expression
a} ff Drmb+nd) [e—: (4% Foie c%) — { p@P + 4(Q9 + rRI}] ds:
On pourrait appeler cette nouvelle intégrale le flux d'énergie rayonnante à travers la frontière S du corps déformé.
Le raisonnement fait au $ 64 et fondé sur l’invariance euclidienne de la densité d’action, ne conduit plus à l'égard des forces et des moments extérieurs, ainsi qu’à l'égard des nouveaux efforts et moments de déformation extérieurs, aux mêmes conclusions ; c’est ce qu’on peut interpréter en disant que les nouveaux efforts et moments de déformation ne satisfont plus à ce que M. Poincaré a appelé le principe de réaction. Cette dernière conclusion se retrouve également, comme on le sait, dans les théories électriques de M. Lorenrz. Mais l'existence du rayonnement que nous avons mis en évidence permet de rapprocher les efforts et moments de déformation gg yes ve) Haas Huws ++ AC Ce que Maxwecc, d’après des considérations tirées de la théorie électromagnétique de la lumière, et Banrou:, d’après la Thermodynamique, ont appelé la pression de l'énergie rayonnante, et on peut ainsi respecter de nouveau le principe de réaction.
