Variations des arguments eulériens déterminées direc
tement. — Nous supposons qu'on fasse subir aux fonclions x, y, z de . . S DJ os e. . »
Los Yor 20 t les variations Ôx, 07, 07. Considérons les relations que l’on
obtient en différentiant les relations (68/) successivement par rapport aux variables de LAGRANGE ; nous en déduisons 2œ D sta 2 Me EE [nl 7 + KE —0; ES ô[Ei ao ap; Ô[n:] as 20 ô[&] 4 1 [é] dpi F7 58 [ni] 29: Re [Gil ap 0; mais on à dr nroz | ray , ra, DP 2T 2 2Y 2% DZ dpi aùy oyez : oyoy , dy 2, D OT 2j OY ds 27 Pi 207 dôzoæ oz dy oz à,
d0; mor dP; dY Pi dZ df;
si l’on porte les valeurs de ces dérivées dans la relation précédente, on à
5 êz:
2 Safe + (69 2 + End 2 + (I À 2y o5x 4 Ôy 4 oùz
+ 2 jolie HE Pl WI SUN
22 aôx o5y dati ee + DE tea + Led DE + End DT + ET = 05
les parenthèses, dans cette dernière égalité, sont donc nulles, et l’on a :
ME] = — FI PE + End 97 + I 3e era | SEA = — À (EI VE + End 7 + EI DE De même, nous avons dz, . dx #3 di.
2) = — Te AE) — D En] — GE) — LE) DE — fn] 9 — 1e Ds
en remplaçant Ô[E,], Ô[n,], Ô[t,] par les valeurs que nous venons d'obtenir, il vient: 8e) = LE À 1e 2 + En Ù + fe] 1 Hill > Val 3% AE:
aÿx
dy {y 4 à l:] 2y
dz dx EL) 25 + ++ dèz
» 1 0 di 6] = QT
5 Ô HSE lee
avec des formules analogues pour ô(n), ô(&). Pour revenir à la formule que nous avons obtenue au $ 74, il suffit de remarquer que l’on a
dir or de Nbr dy. ob den De, He on di oyid Ü sd nt
ddy __ ay dx or dy oôy dz oùy Nino d'ioyidt. 3 dit doi dôz __ oëôz dx où dy . aoôz dz | oùz, HP SE di dev dt oc di D
mais nous n'utiliserons pas, dans la suite, la formule de la page 1 154 et ses analogues. Il convient, en effet, d'observer que, dans le cas où x, y, z, { sont les variables indépen:'antes, le champ d'intégration des intégrales par rapport à æ, y, z que nous considérerons dépendra de t, et on ne pourra pas intervertir à la façon habituelle (comme avec x4, 5 Zo, t) les intégrations par rapport à æ, y, z et par rapport à { : si l’on veut intégrer par parties par rapport à {, il faudra introduire les variables auxiliaires æ,, y,, 2, et ne faire usage que de
dérivées par rapport à de la forme ue ce qui nécessitera l'emploi de for-
mules telles que celle que nous avons écrite plus haut pour d(t).
Le calcul à faire pour obtenir G(p;), 8(q:), Sr), ê(p), (q), (r) repose actuellement, comme celui qui conduit aux expressions de Ô(£;), ô(n:), (&), Ô(E), d(n), 2(£), sur les formules que nous venons d'obtenir pour Ô[£;], ôjn;], 9[6;] ; la transformation à faire subir aux expressions ô(p), à(q), î(r) données dans
le S 74, pour n'avoir que des dérivées par rapport à { de la forme de St la même que celle que nous avons indiquée pour Ô(&), ô(n), à(ê).
76. L'action de déformation et de mouvement avec les variables d'Euler. Invariance des arguments eulériens. Application de la
méthode de l'action variable. — L'action de déformation.et de mouvement avec les variables de LAGRANGE était
d | , 11 Wdrsdyodz sul, h vus
W étant une fonction de x4, Yo Zor L3 Et Mis Bi Pi Go li5 6, 0, G pq D'après les formules (39) et a (81'), on peut dire aussi que W est une fonction de %4, Yo» Ze» {3 (8), (ri), (Gi), Go), (go), (ra 3 (6), (n), ©), (p), (9), (),
et, si l’on pose ({) :
écrire l’action précédente :
[7 ff écart:
fl s
(t) Nous supposons A positif et ainsi égal à [A].
l'intégration relative à x, y, z est étendue au milieu S, c’est-à-dire à un domaine variable avec le temps.
On peut aussi concevoir qu’on arrive à cette dernière action indépendamment de la première. En effet, les arguments lagrangiens sont, comme on l'a vu antérieurement, des invariants euclidiens ; mais, puisque les arguments eulériens sont uniquement des fonctions des arguments lagrangiens, d’après les formules (77) et (80), il en résulte qu'ils sont aussi des invariants euclidiens ; c'est ce que l’on peut d’ailleurs facilement établir d'une manière directe au moyen des formules (82), (83) et (84), (85), en y faisant
Ôx — (as + wez — w:y) di, dy —= (db; + w3x — wz) dt, Ôz — (ci, + w1y — wc) dt, 81 — wiôl, Ôr — wÔt, Ôr — w;ôl. ;
Il en résulte qu’on est ainsi conduit directement à prendre pour forme de l'action de déformation et de mouvement avec les variables d’Evzer, à l’intérieur de la surface S du milieu déformé et dans l'intervalle de temps compris entre les instants ?, et &, l’intégrale suivante :
1 aiNE Odxdydzdt, ta s
où la fonction © a la forme remarquable
Q (&, Yos Zos L (Ei), (mi), (Gi), (ps), (qi); (ra), (), (n), (©, @), (a), (r)).
Considérons une variation quelconque de l'action de déformation et de mouvement à l’intérieur d’une surface (S) du milieu (M) et dans l'intervalle
de temps compris entre les instants f, et Z, et à cet effet donnons à x, … les vartations Ôx, …
Ecrivons pour un instant l'intégrale sous la forme
b je [ff QAdxodyodzodt F tu LE So
E D J a i. (A9 + aÿA)dx;dycdzodt, ti 50 de SA 1 1 k (2 A à) drdydzdt.
mn s
sa variation est
ou
Or À — d 2(z, Y 2) à à (x, do» ) sa — (9,2) où d(y,:) ax o(y,2) aôx à CAE 0) ET à (20, To) dYo n] (to, Yo) EYA HORS + “ D(v,2) 2x d(Y,2) ox | 2(y,z) ox aix à à (Yo, 20) EVA à (2, Lo) 2ÿo à à (to, Yo) 2z ) dx Fo dé ax aôy DÔz er A + dr
c’est-à-dire
et par suite la variation de l'intégrale est
b LE vor d0z x | —h SIL $e ( sy e” fs) + 50 dxdydzdt.
La variation 90 de @ est
de: 20 , D DE 5 + 0 8 (nu) + ee + 280 + ce + DD 20) où Ô(£;), à 0 …, 3(r) sont déterminés par les formules des $$74 et 75, écrites
de manière à n’y faire figurer que des dérivées par rapport à { de la forme .
Nous pouvons appliquer la formule de Green aux termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport à une des variables x, y, z. En ce qui concerne les termes qui renferment explicitement une dérivée par rapport au temps, voici comment nous opérerons (le champ d'intégration par rapport à
æ, Y, =, variant avec le temps) ; soit
k FT dh sp il le JT dxdydzdl,
un pareil terme ; si nous passons par l'intermédiaire des variables æo, yo, 2 P ; P
b f ë ji ii ie gA À drdyideodl 1 So
ou, en intégrant par parties,
À fi LyAG] desdyodes — i si ff, f. k age) Da dentt 8 1 on So J L = [ * 1 J gd | ni 1) , 1 je (A het) dæodyodzudt [I —[ ff forcée] dep DIE LG de dydzdt, ty
il vient
en revenant (! j aux variables x, y, z.
Il vient ainsi, en désignant par !, m, n les cosinus directeurs, par rapport aux axes fixes 0 Oy, Oz, de la normale extérieure à la surface S, qui limite le milieu après déformation à l'instant {, et par de l'élément d'aire de cette surface
sf” Î “hi he odrdydedi
bp ù ee 41 J 1 Dex + MPye + NP3e)ÔT + (pay + MPyy + NPzy) Y + (lp23+MPys + Pas)07 l, CS 8
NI
+ (lq2z + Myz + 1922) à + (ay MQuy + Qu) DS + (lQzr+ Mu: + nqz:)0x h dodt
+ [ff G —Ôx+ Bay One Para Qar+ Re pd dPar + p, ré dPzr , 1 D )ée - f° [IF :C Éron “oz “Adi 14 ©
dry OPyy ?Pzy zu )è +( si dy M #1 Adi
DPes DPyz . Lu SL ie ay oz TA
RTE + Pr Par A) + (+ ice ee. RU + Pepe Ai RE) à gg pere A) eù l’on a posé avec les notations du 8 73, à = (A) 1] —(B)(8)—(C') [Es] —(P°) [pi] — (Q)ipe) — (Rp), = — A) ba] (B [re] — (C9) Era] — (P°) Eau] — (Q') Las) —(R) [as], D —— (AE) — (B) {E:] —(C') 16) —(P'){ni — (QD rs) — (R [ro Ale (P) +8 (Q)+ 7 (R') À (Q=# (P)+ 8 (Q)+ 7 (M).
= [RI=2"(P) + 8(Q) ++" (R), () On peut ici remplacer — } par sa valeur tirée de
ia (x) ù {dy +Èè( À di — 3x \dt ne (4) à \d}°
ACTION EUCLIDIENNE AU POINT DE VUE EULÉRIEN 209 Pe=0— DA] — SP] mia Pe = -— D (BIlE — Dour Ÿ.
Pa — D'ici - Ÿ1 Done Pn= — DA D (PJia—ÈS.
Pn=0— D Bin] À (Qia)— ad ue 216) ÉDITER
Pr DNA D Pitre-SE, Pn= — DB) DiQtr)—2®.
Pa =0— À Gi] it] — YIRQ tri — fe et en outre | qu —=aiP) APP) TI x = 4 [Qi] + BIQl + + [Qs] — D P dz
Ge = a (O1 + BR) + 18] — 2% avec des formules analogues pour q.,, Quys Q:y» Us Quss Az
77. Remarques sur les variations introduites dans les $$ précédents. Application de la méthode de l’action variable suivant la méthode habituelle du calcul des variations. — Nous avons dans le paragraphe précédent utilisé les variations calculées précédemment ; il n’est pas inutile de préciser leur signification et de les rapprocher de celles considérées par M. Jonpax (!).
Rappelons, en la complétant, l'exposition de M. Jonpan. M. Jorpax cherche la variation de
Sydxdydz,
en supposänt d'une part que x, y, z subissent des variations et d'autre part que les fonctions figurant dans + subissent aussi des variations. Par ce fait, g subit deux variations, dont les effets s'ajoutent; M. Jorpan considère successivement la variation due à la variation des fonctions figurant dans v, puis
celle due à la variation de x, y, z qu’il juxtapose à la précédente.
(4) Jorpax, Cours d'Analyse de l'Ecole polytechnique, 1°e éd. T. TI, n° 339, p. 533-535; a° éd, T. IL, n° 396, p. 528-530.
On pourrait aussi bien chercher d’abord l'effet complet provenant de la juxtaposition des deux variations sur les lettres u, ..…., u,a., .… qui figurent
dans + en appelant ôu, .,. ces variations complètes, on aurait
pour la variation complète 5 de e.
Ceci dit, on remarquera que les variations calculées précédemment sont ce que nous venons d'appeler des variations complètes et que le calcul du $ précédent est fait à ce dernier point de vue.
Si l’on veut le présenter sous une forme identique à celle de M. Jorpan, voici ce que l’on devra dire. Nous introduisons, dans ce qui va suivre, des fonctions æo. Yo, %, «, &’, .… y” de x, y, z qui figurent, su moins en partie, explicitement et par leurs dérivées. Les fonctions æ, Yo, z de x, y, z, { sont celles qu’il faut mettre dans les seconds membres de (68'), pour en tirer x, y, z en fonction de +, yo, & {- Il en résulte que, par le fait que x, y, z subissent des variations Ôx, y, êz, ces fonctions æ, Yo, 2» de æ, y, :, t subissent aussi des variations, que nous désignerons (‘) par (x), .…, telles que l'on ait les formules :
PS) Lo ni Done 0 = (0x) + ne dx . Ôy ô:, 86 PEN É %o 5 2% 5 2Yo (86) ME DO PRES ARE EURE
N dr 07 oz CO (oz) + 2 0x + 0 Sy + 0 Ge:
| (x) + ou
exprimant que les variations complètes de ces fonctions sont nulles. Les variations (ôx,), (ôyo), (èzo), qui figurent dans ces trois dernières formules, sont les variations qui figureront dans l'exposition calquée sur celle de M. Jonpax que nous allons donner. Cette remarque semble devoir être rapprochée des considérations développées par M. C. Neumann, dans ses recherches (2?) sur les équations de Maxwezc et de Henrz ; elle est conforme, d'autre part, aux règles de calcul adoptées par M. H. Poincaré, dans son mémoire sur la dynamique de l'électron (*), dont nous parlerons plus loin.
(1) Nous dénoterons d’une façon générale par (à) les variations obtenues en laissant œ, ÿ, Z fixes, afin d'éviter toute confusion.
(2) G. Neumanx, — Die elektrischen Kräfte, T. I, Leipzig, 1898 ; Über die Mazwell- Hertz’sche Theorie (Abhandl. der k. Sächs Gesells. der Wiss. zu Leipzig ; Math.-phys. Klasse, T. XXVII, n° 2 et 8, 1901-1902). F
(8) H. Pomcaré, Rend. di Palermo, Tome XXI, p. 129 et suiv. (1905), 1906. M. H. Porxcaré emploie des notations diflérentes des nôtres, en particulier en ce qui concerne les dérivé ù i +
et ‘ ivées par rapport à {, où nos signes d, à, qui sont ceux de M. APPELL (Traité de Mécanique, Tome IE, 1° éd., P. 277), se trouvent intervertis. Il distingue la
variation ordinaire (G2) d’une fonction © au sens Jonpax, qu'il désigne par Fe de, de €
sa variation 0o (que nous appelons complète) qu’il désigne par 2? Se [voir en particulier la formule (11 bis), page 140]. “
En ce qui concerne a, a, …, y, nous aurons des variations (3x), … au sens de M. Jorpan ; mais les variations introduites dans les $$ précédents et que nous continuerons de désigner par ô«, .…., seront des variations complètes, en sorte qu’on aura
Geci revient à dire qu’en introduisant les variations (ôa), .. au sens de M. Jonpan, nous introduisons en outre les auxiliaires ô1’, 63’, Ôx’, que nous PEN à définissons, au moyen de (ôa), ôx, …, par
= Dès = D (68) + jpilèe + [guy + Lrlèc, (87) = Daôy — D'a(dy) + [polèr + [qlèy + [rojèe, dx — d'pôa— D RG2) + |plôèx + {glèy + [rolèz.
La conyention fondamentale, on le voit, est celle exprimée par les relations (86). Elle se retrouvera, dans un travail ultérieur sur la théorie des températures, pour les fonctions qui figurent, par exemple, par leurs paramètres différentiels, dans le cas où il s’agit d’un milieu ponctuel, si on fait abstraction des formules où se présentent les coefficients des variations complètes de ces fonctions. é
On observera qu'actuellement le moyen le plus simple pour effectuer les calculs n’est pas de suivre l'exposition même de M. Jorpan, mais consiste à déterminer, comme nous l’avons fait antérieurement, la variation complète de la fonction sous le signe d'intégration. Il ne sera pas cependant inutile, en vue des comparaisons à effectuer lorsqu'on développera plus tard les deux points de vue que suggère la notion de température, de suivre également la voie de M. Jorpax.
Nous avons
cs à f [ff oécbaun — [| © [TEE co + Go + 2 Go +2 5 (@) ++ (0) + 6 (0) + +65 (to) "+ . (Qôx) + F (Qôy) + & (232) Jrad
où le signe (3) correspond à la variation obtenue en laissant «, y, z fixes, en sorte qu’on a d’une façon générale
= dE, dF | dÿ at (89) (87) FF RÉ En Nr dy Orne 0
Nous substituons aux variations (ôx,), … les auxiliaires Ôx, à, 8z, ôr, CHACTS définies par les formules (86), (87). Nous devons nous rappeler aussi, à l'égard de l'intégration par rapport à t que le champ d'intégration par rapport à x, y, z
varie avec t et que l’on ne peut pas intervertir l'intégration par rapport à { et le système d’intégrations par rapport à x, y, z, à la façon habituelle employée avec les variables x,, Yo» Zo:
Remplaçant (ôx,), (èyo) (Ôzo), (3(E)), … par leurs valeurs définies par (89), qui comprend (86), nous obtenons :
5 Er de da Le (90) >| JJ) eg) JE ae-5e-2
+Ÿ 27 4) + + à(r) À + % Ô(&) + … nn ô(r)
d CR < se TZ (Qèx) + Fe (Q0y) + L d (3e) [érdyrat.
Si nous avons égard à part à
on [fI-ée-v-te
: < dés + . (QGx) + e (Q$y) + > (232) Jardydeat,
età.
(92) FER 0 +.142800 ++ 20 Jabra
de même que, dans le $ précédent, nous avions eu en somme égard à part à
b = {g1") J A fe [FE (= +2 e NE) dadydedt
et à (92), on voit que le calcul est identique à celui que nous avons fait antérieurement.
78. — Les conceptions lagrangienne et eulérienne de l’action. La méthode de l’action variable appliquée à la conception eulérienne de l’action exprimée avec les variables d'Euler.— Dans son travail sur la dynamique de l’électron, présenté dans la séance du 23 juillet 1905 du Cercle de Palerme, M. H. Poincaré paraît avoir mis en évidence, pour un champ infini, une conception de l’action autre que celle que nous avons envisagée jusqu’ ici. Si l’on précise l’idée de M. H. Porncarë en considérant un champ fini, on est conduit à distinguer les deux conceptions suivantes de l’action, l’une lagrangienne et l’autre eulérienne.
Nous pouvons soumettre la fonction générale W ou © à des intégrations par rapport aux variables indépendantes (*) x,, Yo, + Ou par rapport aux variables indépendantes (?) x, y, z, dans des champs fixes, puis intégrer par rapport à {.
(*) Dans ce cas, nous désignerons par W la fonction. (?) Dans ce cas, nous désignerons par Q la fonction.
1. Partant de l’espace (M,), concevons qu’un observateur attaché aux axes de référence porte son attention sur une portion (S,) de cet espace et sur les différentes positions qu’elle prend ultérieurement, savoir : (S) à l'instant quelconque t, (S,) et (S:) aux temps {, et 4. Nous envisageons l'intégrale
é, il | ‘fi [il odrdydedt, ti s
dans laquelle le champ d'intégration (S) par rapport à x, y, z est variable avec !, et qui, en effectuant le changement de variables défini par (66') ou par
(68') prend la forme fu c j ï Wax,dysdrodt, on 80
où W désigne l’expression obtenue en remplaçant dans LA les lettres x, y, = par leurs expressions (66) et dans laquelle le champ d'intégration (S,) par rapport à æ, Yo, Z est indépendant de t. Nous avons alors la conception lagrangienne de l'action.
2. Envisageant toujours un observateur firé aux axes de référence, concevons qu'il porte constamment son attention sur une portion délerminée el fixe de l’espace (M) : désignons par x,. yo, Z les coordonnées, qui se calculent par les formules (68"), du point M, de (M,) qui viendra, à l'instant {, au point M . de coordonnées x, y, z de (M) et soit (S,) la région décrite par M, et qui vient à l’instant { en (S) ; nous pouvons désigner par (S41), (So2) ce que devient la région (S,), variable avec {, pour les valeurs t, et L, de 1.
Q renfermant à la fois x, y, z et les fonctions exprimées par les formules
66’), nous envisageons : !
f ; [ il sÀ Odrdydzd, L ti 8
où cette fois le champ d'intégration (S) par rapport à x, y, z est indépendant de t et qui, en effectuant le changement de variables défini par (66) ou par
(68) prend la forme ju à ni fé Waridyodeudt, li s0
où le champ d'intégration (S,) par rapport à æ&,. Yo, 2, est variable avec t. Nous avons alors la conception eulérienne de l'action.
Nous avons considéré le premier cas dans les paragraphes antérieurs ; nous allons maintenant nous occuper du second. La formule (88), est alors remplacée par la suivante () :
(88) ï £ 11 il, | Sdrdydzdt) — J 4 mn ï} [2 Er) +3 Gr + (25)
+ Die (86)... ar) (3(r:))$ + (D) (80) fardar (:) En se reportant à l'exposition de M. Jorpax, on observera que la partie . (Qôx) + 5 (Qôy) + “e (Lôz) provient de ce que le champ est mobile et correspond
à la variation des lettres x, y, z en tant que variables indépendantes.
et, en vertu de (89), la formule (90) est remplacée par la suivante :
(90!) (af Î ik “ odedyddt) — Un J be T2 en, # À
+ D {SE 4 + sl +T Tr RE rs dxdyd:di.
La suite des calculs ressemble à celle du $ 77; toutelois, une différence s’introduit, en ce qui concerne les dérivées par rapport au temps ; actuellement, on peut intervertir l'intégration par rapport à { et l'intégration par rapport au champ des variables x, y, z, et cette interversion étant effectuée, l'intégration par rapport au temps doit se faire en envisageant x, y, z comme des constantes ; les intégrations par parties par rapport au temps doivent se
: $ . à Te d faire en les faisant porter sur les dérivées … et non sur les dérivées qi» comme
on le faisait dans les $$ ‘76 et 77, et conformément à la remarque faite dans les $S 75 et 76.
L'intégration par parties nous donne actuellement :
GNU
b =f IE { (CP'os + p'ye tn p'e2) 32 + (lp tm play P'2y)0Y + p'es+ mp! trip! )èz 1 Ca
+ (get US PC EU Paul ant + (lg'ezt+m'q'ystn'q')ôx}do/dt |
C' P' Q R 12 So es = ie SRE CREER NE ds + x) drdydr | + [fT EE Â À À Ni
t ! Q nf f{fr (es emsnpe te ms
+ (> +Pn+%s+i +) dy
etes re
