BA : OA :: QC : CD
ou tang « : r : : r : cot a ;
(*) Le carré, le cube, la 4^ puissance, etc., de sin a, de cos a, de tang^/i, de cota, de séc a, de coséca, etc., s'^écrivent ainsi ; sin' a, cos' a, tang'd, cot'a, sin*a, cos'a, tang*a, cot'a, n^n^ a^ etc.,. pour ne pas confondre ces expressions avec le sinus, le cosinus , la tangente , etc. , de a' de a', de «*, etc. ^
RAPPORTS DES IiIGNES TRIOONOMiTRIQUBS. 7
etâ Ton compare entre eux les triangles rectangles MOP , €0D , qui , à cause des mêmes angles alternes internes , sont aussi semblables , on aura
MP:OM :: oc:Od,
sin fl : r : : r : coséc a ;
on tire des proportions précédentes ces équations
cota= , (4)
tang a^ ^^[
coséc a = -; (S)
sm a
D*un autre côté 9 la propriété du carré de l'hypoténuse nous fournit ces équations
OB^ = OA» + AB% OD» = OC^ -h CDS
ou séc'«.= r* H- tang* a, coséc' a = r' 4- cot* a, (6)
19. Les équations (6) sont comprises dans les cinq autres de Part, 18;
cir on tire de Téquation (3)
séc* a = — -,
cos* a
et, en divisant par r ',
séc * a r *
remplaçant le numérateur du second membre par sa valeur tirée de Péquition (1), on a
séc' a sin ' a -t" cos ' a r* cos' a
séc ' a sin ' a
on 1 — r~ = 5 i- I;
r ■ cos * a
et à Faide de Téquation (a) élevée au carré, cette dernière devient
séc' a tang' a
8 TBIG01f(MCi¥RIK.
faifiant éTaaouir le dënomiBateur, on obtiest
sée' « = taag' a -+-r',
et nous reconnaissons ici la première des équations (6).
A regard de la seconde des équations (6) , Téquation ( 5 ) élevée au carré donne
cofiéc ' a = . -■■ ,
ou , en divisant par r %
coséc * a r '
r* sin* a
éliminant le numérateur du second membre à Paide de Téquation (i)
on obtient
coséc ' a sin ' a cos ' a
r*, sin* a gin' a
coséc * a cos ' « . . .
ou i — = I -+- -i-ï- » (7)
r' sm* a
'd^une autre part, Péquation (2) élevée au carré noas donne
cos* a r*
sin' a tang' a ' substituant cette valeur dans Téquation (7) , on obtient
coséc *a r '
r ' tang ' a '
chassant le dénominateur /', cette équation devient
coséc' a = r* -i — ,
tang' a
valeur qui , au moyen de Péquation (4 ) élevée au carré , se convertit en
coséc' a = r' -h cot' a,
et reproduit la seconde des équations (6).
20* On prend quelquefois le rayon pour unité , ce qui simplifie les formules; dans cette hypothèse les équations (i) et (2) deviennent
sin' a H- cos* a = i , . . '. (8)
sin « , .
BAPPOK'flS DES UGNBS THIOOVOMSTRIQUXS. 9
€t les équations (3), (4) et (5) se châtngent en
secarr , coia=z , cosec a = -; . (lo)
cos a tang a sin a ^ ^
Si. Il est facile de passer des 'formules où cette hypothèse a lieu , à celles où le ny<m. est déâgné par r. Pour cela il suffit de remplacer les expressions sin a, cos a, tang a, cot a, séc a, coséc fl, par celles-ci :
sîn a cos a tang a cot a séc a coséc a r r r T r r
en opérant ainsi sur les équations (8) ^ (9) et ( i o)^ on retombera sur les équations (i), (2), (3), (4) et (5).
22. Pour le démontrer, soient (y%-. 8) MA et NB des arcs a Fig.8. et fl' décrits avec les rayons OA =1 et OB = r, et MP, NQ, OP, OQ les sinus et les cosinus de ces arcs y et AK y BL leurs tangentes y nous aurons
OM : ON :: mp : nq :: op : oq :: ak : bl ,
ou I : r : : sin fl[ : sina' : : cos a : cosa' : : tanga : tang «' ;, (i 1) nous tirerons de là
sin a' cos a' tans a' , .
sina= , cos/i2=: , tangârm — ~ — ; . . (laj
substituant ces valeurs dans les équations (8) et (9) y nous aurons
sin* a'
a! cos'a' tang a' sin a' , ,.
r' r cos a ^
et comme dans ces équations il ne reste aucune trace de Tare a, nous pourrons supprimer les acceots y en convenant que a ne représentera plus Tare décrit âfet le rayon i, mais avec le wyon r; et si nous faisons évanouir le dénominateur r' de la
I O TaiOONOMBT&IE .
première des équations (i3), nous obtiendrons
tangû sina
sm^ a -h cos* a = r% — S— = ;
r cos a
ce qui nous fait retomber sur les équations (i) et (2).
La même démonstration peut s'appliquer à toutes les autres valeurs trigonomé triques qui dans les deux cercles sont des lignes proportionnelles.
23. Nous n*avons pas besoin de faire remarquer que^ dans ces substitutions , il faut bien se garder de remplacer Funité par r; caria valeur de l'unité ne serait égale à r que dans le cas où les arcs a et a' de l'art. 22 coïncideraient. £n effet y la première des équations (12) nous donne
« sin a
I = r -, — ^, sm a
équation qui nous montre que l'unité ne peut être remplacée par r que dans le cas où a' se réduit à a, et où par conséquent Tare a' devient celui qui serait décrit avec le rayon r.
