Lorsque B n'est pas nul, l'expression
qui entre dans les équations (4i8) et (419) est moindre que l'unité; par conséquent, dans le cas où A — G est positif, ces équations donnent
sin^/? < I, cosV > I, d'où Ton déduit
sin/7 < —, co%p >-7=.
Si dans un cercle SMB [fig* 179)? décrit avec le rayon pig. i^g. des tables , on prend l'arc MB"= \ circonférence, l'angle MOB sera la moitié d'un angle droit ; donc l'angle M vaudra l'autre moitié, et l'on aura
aOP^ ou aPM' = OM^ = i, d'où l'on tirera OP ou PM = -p.
Gela posé, la valeur absolue de sin/? devant être moindre que
--p. , et celle du cosinus devant surpasser -r= , il faut que
SI 9. si 2,
l'angle p soit moindre que l'angle MOB , qui a pour mesure
j circonférence, ou surpasse l'angle SOB , qui a pour supplément l'angle SOQ=:MOB.
On trouverait de même que dans le cas où A — C est négatif^
on a sinp > -7= et cosp < -p , et que par conséquent Fan-
gle p doit être plus grand que MOB = \ circonférence, sans cependant surpasser* SOB , qui a pour supplément SOQ = 7 «>conférence.
1518. Donnons une application de ce qui précède, enconstruisant la courbe qui a pour équation
2x^ — ^xy •+• 5x^ — 3a? = o.
Je vois d'abord que B' — 4-^^ ®s' ^°® quantité négative, et que BD — 2 AE est une quantité positive ; donc (art. ISOB) l'équation n'est pas absurde, et ne se réduit ni à celle du point, ni à celle du cercle, puistpie la condition
. (BD — 2 AE) = (B^ — 4 AC) (D^ — 4AF ) (art. 490) ,
et celles de l'art. 493 ne sont pasNremplies.
Ainsi la condition B' — 4^^ = nombre négatif, qui est satisfaite , m'annonce que la courbe est une ellipse. Cette ellipse n'est pas rapportée à l'un de ses axes principaux , puisque le terme en xy existe (art. 468).
Le terme — 3x m'indique (art. 462 ) que l'origine des coordonnées n'est pas au centre de la courbe.
Il est facile de reconnaître que l'origine est siur la courbe même; car si l'on fait a: = o , on trouve y z=o.
Pour déterminer les coordonnées du centre, nous comparerons les coefficients de l'équation proposée à ceux de l'équation générale des courbes du second ordre (4^8) (page 326), et nous verrons que
Substituant ces valeurs dans les équations (4")j nous trou-
FORMULES POUR CONSTRUIRE l'eLLIPSE ET l'hyPERBOLE. 333
vcrons
et
Une semblable substitution étant faite dans Téquation (41^)9 BOUS donnera
Au moyen de cette valeur de L , et de celles des coefficients A , Gy B, mises dans les équations (420) et (4^1), on trouvera
Réduisant ces valeurs de a'^ et de ^'^ à un dénominateur commun qui soit un carré , on aura
Donc «' = ^, =fV^, *' = T'
De même l'équation (4i8) se réduit à
Pour déterminer la valeur de cet angle /?, au moyen des tables des logarithmes , on a
logsin^rrr J (log8 — log io)=r|(o,9o3 090 — 1)= — 0,048455.
Ce logarithme est négatif, parce que le rayon est supposé égal à l'tmité; mais si Ton prend le rayon des tables, qui est 10 milliards de fois plus grand-, il faudra ajouter la caractéristique 10 à ce logarithme , et Ton aura 9,95 1 545. Ce nombre
334 TBÉORIK DKS COURBES DU SECOND ORDRE.
répond ^ dans les tables des sinus , à
&Z^ 2.& division sexagésimale, on à ']o°/\.S^ diçision décimale.
Ayant donc pris pour abscisse une droite a = -J- , et pour ordonnée une droite P = y, je déterminerai le centre par lequel je mènerai une droite qui , avec Taxe des abscisses , fasse un angle de 63® 26', division sexagésimale, et prenant de chaque côté de cette droite y à compter du centre y une longueur de "i- V 3 , je tracerai le grand axe , sur lequel je placerai
le petit axe 2 ^' = y v^2.
Au moyen de ces axes la courbe sera déterminée et placée convenablement.
^19. Observons que pour construire la courbe , il suffît de prendre des lignes qui soient entre elles dans le rapport des précédentes ; ainsi , pour éviter les fractions , je multiplierai les valeurs de a et de p , de a' et de ^' par 100 , et j'aurai
Prenant ces parties sur une échelle , il sera facile de déterminer la position des axes par rapport à celui des x.
