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PRÉFACE

Cet ouvrage, qui sert d'introduction à vcL^s Éléments de Calcul différentiel , de Calcul intégral et de Mécanique^ nécessitait dans cette nouvelle édition, de grandes améliorations réclamées par les progrès de la science. J'ai donc eu beaucoup de lacunes à remplir, de points capitaux à éclaircir, et de méthodes à perfectionner. Voilà ce qui m'a conduit à refondre enûèremenl mon plan , en établissant une liaison intime non-seulement d'une proposition à la subséquente , mais encore entre les grandes divisions de cet ouvrage.

Cette liaison des idées , si essentielle dans toutes les productions de l'esprit, coûte moins à former en littérature qu'en mathématiques : en effet, la plus grande difficulté que présente la composition d'un ouvrage his* torique ou dramatique , d'un poëme ou même d'un roman, est de savoir tracer un plan qui jette un grand intérêt sur le sujet; mais, en mathématiques, le meilleur plan devient quelquefois impraticable , lorsque l'auteur, arrêté dans les transitions, ne peut inventer des démonstrations nécessitées par la disposition des parties de l'ouvrage et la nouveauté de son cadre.

C'est dans la recherche de ces démonstrations que tous les ressorts de l'imagination sont en jeu, et que si , avec l'esprit le plus méthodique , le jugement le plus sain et

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Je plan le plus sagement conçu , on manque d^invention , il sera impossible d'éviter les endroits obscurs qu'occasionne Tabsence des démonstrations intermédiaires.

Ces passages inintelligibles proviennent aussi de ce. qu'on n'a point su se départir de certaines idées encore ignorées du lecteur ; et , ce qui est à remarquer, c'est qu'en s'exprimant dans un langage énigmatique, comme l'auteur n'entrevoit rien qu'il ne conçoive parfaitement, il est loin de se croire manquer de clarté.

Il est cependant un genre d'ouvrages scientifiques où l'on est moins dans l'obligation de se mettre à la portée du lecteur •, je veux parler des Mémoires. C'est là que, n'écrivant que pour des savants, on doit épargner leur temps, en supprimant les détails inutiles de choses qu'ils sont censés connaître; mais il faut convenir qu'en s'affranchissant ainsi de toutes les entraves, on s'exerce bien peu dans l'art de transmettre ses pensées. On dira peut-être, qu'en compensation, l'auteur a la possibilité d'enrichir la science d'aperçus nouveaux', c'est ce qui existe, en effet, ^ dans les ouvrages de quelques hommes de génie, et le but que devraient toujours se proposer ceux qui composent des Mémoires; mais l'originalité n'est pas le partage de la multitude. Au reste , ce qu'il y a de certain , c'est que le choix de la question étant à la volonté de l'auteur, il a bien moins d'obstacles à surmonter que celui qui, traitant un sujet complexe, développe forcément les théories qui s'y rattachent, et n'est pas même exempt de faire preuve d'invention et d'étendue de vues.

L'abus dont on vient de parler, de fonder ses raisonnements sur des notions étrangères au lecteur, a son analogie en littérature lorsque, dans lui dialogue, l'au-

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teur, au lieu de s'idenlifier avec le personnage qu^il fait parler, se met à sa place, et lui prête des sentiments qui sont hors de la vérité, t'ar une semblable cause , le mathématicien , s^il m^est permis d'emprunter son langage , ne devient souvent inintelligible que parce qu'il s'exprime en fonction des connaissances étrangères au lecteur, et ne se départit point de certaines idées, pour ne voir que par les yeux d'un lecteur peu versé dans la science.

Enfin, pour achever ces rapprochements, je puis ajouter que le choix des méthodes correspond à ce qu'on appelle le goût en littérature , tact délicat des convenances, qui consiste à rejeter du beau langage une foule d'expressions qui le dépareraient. De même , en mathématiques , ce n'est qu'avec un discernement exquis qu'on évite d'employer des méthodes qui peuvent nous conduire dans des embarras scientifiques, et dont la plupart du temps les longueurs ne sont pas le^moindre inconvénient.

La vérité étant le but que le mathématicien se propose d'atteindre , il semble qu'en la recherchant on ne puisse errer comme dans une question littéraire : c'est une opinion accréditée , et qui est démentie par l'expérience, comme l'atteste la méprise de Nevvton sur les forces centrales , dans la première édition de ses Principes de Ut Philosophie naturelle, D'Alembert s'en était déjà aperçu; mais il appartenait à Lagrange de nous apprendre en quel point le géomètre anglais avait erré*

Lagrange ne montra pas moins de sagacité en fondant la théorie des solutions particulières des équations dit férentielles ; ce qui détruisit l'espèce de paradoxe qui embarrassait Clairaut.

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La controverse sur les forces vives, à une époque bien antérieure, avait aussi occasionné de grands démêlés entre les adeptes de Descartes et Leibnitz.

Le débat qui eut lieu entre Jacques et Jean Bernoulli n'eut pas moins de célébrité. Ce derniçr eut une altercation encore plus vive avec Leibnitz , sur les logarithmes négatifs et sur les imaginaires ^ cette question était si ardue, que chacun des deux adversaires appuyait ses assertions sur des raisons qui semblaient irrécusables : difficulté immense, qu'Euler seul sut aplanir. {Mémoires de V Académie de Berlin y année

Ce grand géomètre mit encore plus de résistance dans

la iutte qu'il soutint contre Daniel Bernoulli et d'Alem--

bert, sur les cordes vibrantes \ c'est au sujet de ce fameux

problème qu'Euler produisit son idée hardie et originale

des fonctions ir régulières et discontinues. En vain d'A-

lembert «'obstina-t-il à regarder ces sortes de fonctions

comme inadmissibles dans l'analyse ; Euler, défendu par

Lagrange, vit adopter son opinion par tous les savants.

{Mém^oires de V Académ, de Tuririy années 1 770-1 773.)

Ces contradictions qui se manifestent dans les mathématiques dérivent," comme le fs^it remarquer Euler, d'une idée peu exacte qui , sans qu'on s'en aperçoive , s'introduit dans une doctrine 5 d'où il tire la conséquence qu'il est extrêmement dangereux de juger des choses dont on ne peut avoir que des idées imparfaites. (Mémoires de l'Académie de Berlin, année i749')

Concluons qu'en mathématiques, comme dans tout ce qui appartient au raisonnement, il suffit qu'on se trompe. sur un point, pour que l'erreur se reflète sur toutes les parties d'une théorie.

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Il ne faut donc pas s'étonner si les caprices de la mode exercent même leur empire jusque sur les mathématiques.

C'est ainsi qu'un auteuç classique crut dégager la science de beaucoup d'entraves, en regardant comme des axiomes plusieurs propositions dont la preuve lui paraissait trop longue à établir» On se jeta ensuite dans une extrémité opposée, en renonçant à toute démonstration fondée sur la considération des infiniment petits, et l'on ne fit pas attention que ces sortes d'abré- tt viations deviennent d'une grande utilité pour mettre en équations les problèmes de la haute analyse , et ont l'avantage de peindre en quelque sorte à nos yeux les formules différentielles.

Il n'a rien moins fallu que cette direction donnée aux esprits, pour mettre en vogue les démonstrations par l'absurde , si longues , si uniformes , et qui naguère encore usurpaient tout le champ de la géométrie , nous montrant la vérité comme tombée des nues, et n'expulsant qu'en apparence l'infiniment petit, qu'on ne fait que circonscrire en évitant d'en prononcer le nom.

C'est ici que nous distinguerons deux marches à suivre dans l'étude des mathématiques : l'une consiste à prouver qu'une vérité a liçu, sans s'inquiéter pourquoi elle existe ; l'autre ne se borne pas à parvenir à la connaissance de cette vérité, mais exige encore que l'on apprenne comment elle se rattache aux connaissances acquises. Le premier de ces procédés satisfait peu l'esprit, mais est favorable à l'inventeur égoïste ,' qui , content de jouir du fruit de son travail, cache la route qui a dirigé ses pas, et par là ajoute une sorte de prestige à sa démonstration.

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Le second procédé, plus digue d'uh esprit philosophique, répand un charme indicible sur nos travaux mathématiques, élève la peniée, fortifie l'esprit et exerce continuellement l'imagination.

C'est la conclusion que l'on peut tirer des préceptes que nous prescrivent les hommes les plus versés dans la métaphysique des sciences.

Descartes {Traité de la Méthode) nous dit expressé-r ment, <( que la marche la plus naturelle de l'esprit hua )> main, est de conduire par ordre nos pensées, en » commençant par les objets les plus simples et les plus )i faciles à connaître , pour monter peu à peu , comme n par degrés , à la connaissance des plus composés » \ et il ajoute : « qu'il n'est pas de choses cachées qu'on ne D découvre. »

Locke, dans son Essai sur V Entendement humain (livre IV), adoptant la même opinion, affirme que les idées les plus générales et les plus abstraites ne sont pas celles que l'esprit reçoit les premières et avec le plus de facilité, et reconnaît que ce n'est poixit en recourant à des généralités que Newton est parvenu à démontrer tant de propositions qu'on ne saurait assez

admirer, et qui toutes étaient des vérités inconnues ^vant lui.

Wolf , qui fut en Allemagne le disciple de Descaries et de Leibnitz, ne s'y acquit une si grande réputation sous le rapport de la clarté de ses écrits, qu'en procédant de conséquences en conséquences , comme le veulent ces illustres géomètres, et en n'avançant un principe que bien affermi sur un autre.

Enfin Euler ( Mémoires de V jicadémie de Berlin , année 1749) nous fait sentir que l'examen des cas par-

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ticuliers nous ouvre rinteUigence des objets les plus compliqués.

Cette idée se rapproclie beaucoup de celle que Condillac développe dans sa Logique, lorsqu'il nous dit que si nous jetons les yeux sur une vaste campagne , rien ne nous frappe d'abord, et que ce n'est qu'après avoir examiné chaque objet en particulier^ que leur ensemble fera impression sur nous.

Il résulte de l'opinion de ces grands maîtres, que la marche la plus philosophique, celle qui satisfait le plus l'esprit dans l'étude des mathématiques, est de s'élever progressivement aux formules générales , en procédant comme si l'on inventait soi-même toute la science. L'étude stimulée par la curiosité devient alors une source de jouissances.

Ce n'est pas que je méconnaisse les avantages de ces formules o^nérales qui, consultées comme des oracles, répondent à toutes les questions, éclaircissent une théorie, y montrent même des choses que nous né soupçonnions pas ; rien n'agrandit plus l'écrit que de le diriger vers ce noble but \ mais je ne voudrais pas qu'on prit pour pointde départ ce qui doit être le prix de nos efforts. Accoutumons-nous donc à généraliser nos idées , mais non à les recevoir élaborées primitivement par des devanciers ; autrement on pourrait dire qu'ils généralisaient aussi*, ces anciens professeurs qui ; dans leur routine, calquant l'algèbre sur l'arithmétique , avaient autrefois donné lieu à ce proverbe : Cela est difficile comme de ralgèbrè.

Dans cette nouvelle édition, je me suis donc attaché à suivre l'ordre immédiat des idées, en commençant par les plus simples; c'est la raison qui m'a porté à

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faire précéder la discussion générale des courbes du second ordre par la démonstration de leurs équations dans le cas où leurs axes sont dans la position la plus symétrique à l'égard de la courbe. C'est ainsi que je parviens, par des moyens très-simples, aux équationsde Tellipse, de l'hyperbole et de la parabole. Je n'ai pas moins simplifié la théorie des tangentes^ quant à celle des diamètres conjugués , que jusqu'à présent les auteurs modernes n'ont traitée que par les formules de la transformation des coordonnées, j'ai senti que , pour la transition, il fallait trouver un cas où il y eut nécessité de passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques ; c'est à quoi je suis parvenu sans faire usage de la transformation des coordonnées, encore ignorée du lecteur. J'ai démontré à priori que les diamètres sont partagés en deux parties égales; ayant ensuite détermiç^ directement leurs valeurs analytiques, j'établis la relation qui les lie entre eux, et de laquelle dérive le nom de diamètres conjugués ^ et j'arrive progressivement aux formules de la transformsyLion, qui , dans leur application , nous montrent toute la fécondité de l'analyse.

J'at remplacé , par des démonstrations plus simples et non moins symétriques, celles qui sont relatives aux rectangles et aux carrés des axes comparés à ceux des diamètres.

Enfin , la théorie des cordes supplémentaires , que j'ai considérée dans leur plus grand état de généralité, complète celle des dianiètres conjugués.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, comme dans un système de coordonnées obliques , les ordonnées sont parallèles : je donhe maintenant une

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autre disposition à ces coordonnées, en supposant qu'elles partent toutes d'un même point, ce qui nous conduit aux courbes polaires , qui ne sont qu'un cas particulier des courbes semblables, dont j'ai rectifié et éclairci la théorie.

Les trois courbes du second ordre étaient connues des anciens sous le nom de sections coniques ^ je les rattache, comme eux, à un même système, en traitant des sections du cône et du cylindre; mais j'ai remplacé par des démonstrations plus simples, celles que je donnais par la considération du plan , et qui sont rejetées dans les notes, pour ne pas intervertir l'ordre des matières.

Depuis l'invention de l'algèbre, ces*- courbes sont mieux classées en les rattachant à l'équation complète du second ordre à deux inconnues ; ce qui donne lieu à la discussion où , pour la première fois , dans les précédentes éditions, j'examinais l'influence de chaque coef- * ficient sur la nature et la position de la courbe. Je l'ai abrégée de moitié , en rejetant dans les notes 4e* i*emarques particulières qui , bien qu'intéressantes, compliquaient trop la marche. Cette. discussion est ici mieux placée \ elle complète la théorie des trois courbes , puisqu'au lieu de placer l'origine au centre , au sommet ou au foyer, comme nous l'avons fait, lorsque nous sommes parvenus directement à leurs équations, nous nous élevons à un plus haut degré de généralité , en nous laissant la faculté de placer cette origine aussi bien hors de la courbe qu'intérieurement.

Les différentes opérations que nous avons employées pour reconnaître la nature de la courbe laissent à dé-^ sirer un procédé qui , à la seule inspection de l'équation, nouait permette d'assigfier immédiatement à

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quelle courbe elle appartient : c'est de quoi nous nous occupons dans le chapitre où la division en genres s'effectue.

Après avoir traité de tout ce qui concerne les courbes du second ordre , j'examine dans quels cas leur équation ne se rapporte qu'à des lignes droites, qu'à des points 9 ou n'a aucune signification.

Je montre conmient, par leurs intersections, on obtient les racines des équations du 3® et du 4^ degré , et on résout quelques problèmes fameux de Fantiquité.

Enfin, je résous complètement celui qui a pour objet de déterminer la courbe du second ordape qui peut passer par cinq point» donnés sur un plan , ou par un moindre non^re, lorsque quelques-uns de ces points sont remplacés par certaines conditions.

Tout ce qui précède nous conduit naturellement à la discussion des équations dont je donne des exemples ] je passe ensuite à des formules générales que j'ai trouvées pour éviter cette discussion , déterminant les longueurs des axes de l'ellipse et de l'hyperbole , et celle du paramètre de la parabole , en fonction des coefficients de l'équation générale , et fixant la position de ces lignes à l'aide d'une formule qui donne leurs inclinaisons.

Enfin , pour compléter la théorie des courbes du second ordre', je m'occupe de leur quadrature , mais en avertissant le lecteur que je ne le fais que pour me conformer à l'usage, attendu que c'est un objet qui, étant du ressort du calcul différentiel, peut y être traité par des moyens plus expédîtifs.

Qu'il me soit permis de m'élever ici contre cette habitude où l'on est de surcharger les ouvrages élémentaires d'une multitude'de questions ois(îuses et isolées ,

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qui ue tendent qu'à dérober un temps précieux aux étudiants, à une époque où les progrès de la science ouvrent un vaste champ à leurs travaux. Combien en est-il qui, par cette raison, ne sortent pas des éléments? tandis que les hautes mathématiques nous offrent le plus beau spectacle dont Tintelligence humaine puisse jouir !

Est-il rien , en effet , qui atteste plus la force de nos facultés intellectuelles, que les ingénieuses méthodes du calcul différentiel et du calcul intégral , instruments admirables sans lesquels nous ignorerions encore les sublimes découvertes de la mécanique rationnelle, de cette mécanique qui nous dévoile tous les ressorts de l'univers, nous transmet toutes les lois qui le régissent, tous les mystères de son organisation ?

A cette hauteur prodigieuse, que devons-nous penser de celui qui, méprisant ce qu'il ne connaît pas, ne voit dans les signes algébriques que des chiffres insignifiants ? Ne ressemble-t-il pas au sauvage qui , regardant un Européen courbé sur un livre , demanderait à quoi lui sert de contempler, durant des journées entières, ces bizarres caractères?

Pour répondre aux détracteurs de la science , il suffit de leur mettre sous les yeux les progrès de la civilisation. S'ils surpassent tout ce que pouvaient imaginer nos aïeux , on le doit principalement à l'étude des mathématiques, qui depuis un demi-siècle répand la vie dans tous les services publics , et réalise .en partie les prévisions de Condorcet, qui presque sur sa tombe rédigeait son Tableau historique des Progrès de F esprit humain,

La troisième partie de cet ouvragé est consacrée aux surfaces courbes. Comme dans ce qui précède, j'y entre

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en matière par les choses les plus simples, et je parviens directement aux équations de ces surfaces, d'après des conditions données.

Quant à la discussion de leur équation générale , j'y ^i apporté de grands changements dus aux progrès de la science : cependant je dois reconnaître que la nouvelle méthode que j'emploie n'est qu'une extension de celle que j'avais trouvée pour les courbes dans la première édition de cet ouvrage. Néanmoins, je rends justice à tout ce qu'il y a d'ingénieux dans la manière dont on simplifie l'équation générale, en disposant convenablement du plan des x^ y. Le bel usage que l'on fait des coordonnées obliques prouverait leur utilité dans l'analyse, si de plus hautes considérations de mécanique rationnelle et d'astronomie n'en réclaniaient l'emploi.

Parmi les objets les plus intéressants rèjetés dans les notes, je citerai la solution que j'ai donnée de ce problème : Connaissant le rayon d^in cercle , tromper les équations qui déterminent les côtés de ïheptagone et de Vennéagone en fonction de ce rayon y méthode qui est applicable à un polygone d'un nombre quelconque de côtés.

Un problème qui n'est pas d'une moindre importance donne lieu à la démonstration d'une construction graphique fort simple pour trouver, à moins d'un dix-millième- près, le rapport du diamètre à la circonférence.

Ces notes comprennent aussi des développements qui complètent quelques théories , et plusieurs secondes démonstrations , parmi lesquelles je dois ranger celle que j'avais trouvée dans les précédentes éditions pour éva^

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luer l'aire de la parabole , et cclL? que je donnais des sections du cône par la géométrie de l'espace. Je dois citer encore des procédés fort simples pour trouver les sinus et cosinus de la somme ou de la diflérence de deux arcs.

Cet ouvrage est précédé d'un Traité de trigonométrie , dans lequel , reprenant les choses de plus haut qu'où ne le fait ordinairement , je démontre , avec le dernier degré de rigueur, les propositions les plus élémentaires, sans toutefois laisser rien à désirer dans ce qui concerne les autres.

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