SUR LES CONOÏDES A GÉNÉRATRICE COURRE

25. J'ai fait remarquer plus haut que le conoïde (moderne) ne rentre pas dans la classification des cristal-loïdes, lesquels sont toujours coordonnés par rapport à un axe. Mais il est possible de construire des conoïdes se rattachant par la loi de leur surface aux diverses courbes algébriques ou transcendantes. Voici comment : Étant données une courbe directrice AB (Pl. IV, fig. 8) que je supposerai plane, et une seconde courbe direc-trice CD quelconque en dehors du plan de base AB; étant donné aussi un plan directeur MN, et enfin, comme gé-nératrice , une courbe plane algébrique ou transcen-dante CA (à deux variables) appuyée sur les deux direc-trices ;

Dans le plan CA, par une transformation de coordon-nées, je place l'origine au point commun C et je suppose les coordonnées rectangulaires, avec l'un des axes Cx vertical sur le plan de AB qu'il rencontre en E.

Pour obtenir la surface conoïdale, on transportera la génératrice sur tous les points de CD, le plan restant pa-rallèle au plan MN et l'axe des x parallèle à lui-même.

Soient CE' la nouvelle position de cet axe et E'B la parallèle à EA tracée dans le plan de hase ; supposons que l'origine C' soit restée au même niveau que C. Alors, pour établir le contact de la génératrice avec la direc-trice AB, il faudra, dans l'équation de AC, changer y

EI B en ~ alors point B appartiendra à la génératrice. Mais si C' est à un niveau plus élevé que C, il faudra aussi changer x en Telle est. la loi à suivre en chaque point pour la construction de ce que j'appellerai non pas un onglet, mais un massif conoïdal.

Envisageons maintenant le volume de ce massif, en le supposant partagé en un très-grand nombre de tran-ches infiniment minces parallèles à MN; nous voyons qu 'en chaque section le rapport de l'aire de la courbe au rectangle xy est constant, car, d'une position à une autre, les aires varient dans la proportion ^ x

Lij et il en est exactement de même des rectangles corres-pondants. Or, ces rectangles engendrent un volume que j appellerai un cylindroïde ; on peut donc dire que le rap-port du massif conoïdal au cylindroïde corrélatif est dans le rapport de l'aire de la courbe génératrice au rectangle des cordonnées, pour la disposition voulue de la généra-trice.

Remarquons que les massifs conoïdaux sont suscepti-bles d'adjonction et de différence, quand la directrice supérieure est commune, et que le principe du rapport des volumes est vrai pour les solides formés par somme ou par différence.

Si la courbe de base n'était pas plane, la marche de la démonstration se trouverait seulement modifiée. 26. Appliquons ces considérations à un cas simple. Supposons que la génératrice soit un quart d'ellipse rap-portée à ses axes principaux et que la directrice supé-rieure soit rectiligne et parallèle au plan de la base. Par cette dernière raison, l'un des axes est constant, soit a, et b sera variable; quelle que soit la base, dans chaque section infiniment mince du massif conoidal, le rapport de l'aire au rectangle sera Le volume conoïdal s'obtiendra donc en prenant la base, la multipliant par la hauteur a et par le coefficient 41

Dans certains cas, comme pour la parabole et la ligne droite, le coefficient est numérique.

On trouvera, à la fin de la Pl. III, quelques figures se rapportant à ces conoïdes, figures qui d'ailleurs peu-vent avoir une base quelconque à expression elle-même numérique, auquel cas, malgré la nature des surfaces, ce volume serait aussi numérique.

On remarquera la simplicité des rapports existant entre ces diverses figures (à directrice rectiligne horizontale) et le cylindre de même base.

La sphère peut être considérée comme un conoïde ayant le cercle pour base, et un autre cercle coupant le premier rectangulairement pour seconde directrice; la génératrice serait circulaire (avec expansion) à transla-tion parallèle.

Le cylindroïde correspondant n'est autre que l'ellido-moïde équiaxe tétragonal de la Pl. I (en plaçant son axe horizontal). Son volume est y R3. Or, tout conoïde demi-elliptique ayant pour rapport à son cylindroïde ~ on retrouve le volume de la sphère = f 7r R3.

27. Sans employer d'intégrale, on peut donc remonter de la sphère au cristalloïde, dont l'onglet de Z15 degrés à base circulaire est le de là, on passerait à l'onglet elli-domoïdal de 45 degrés par le rapport du carré des y, puis à l'onglet d'angle quelconque par le rapport des tangentes. En général, pour tout cristalloïde, on peut trouver le volume par la méthode des limites, quand le volume du solide de révolution est donné. On considé-rera les deux solides comme décomposés en un même nombre de troncs de cône et de pyramide respective-ment, avec rapport constant de l'un à l'autre. Le coeffi-cient est identique (*).

(*) Le volume d'une calotte d'ellipsoïde sera trouvé, en partant de la ( Quand a devient infini, ce qui a lieu pour la parabole, on retrouve le coefficient constant Le volume du cristalloïde circonscrit (ellido-moïde ou paradomoïde) s'obtiendrait par le rapport des bases. On voit facilement quelle sera l'analogie des volumes des troncs d'ellidomoïdes avec les volumes géométriques des troncs d'ellipsoïde et de sphère.