GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

15. Tels sont les divers cristalloïdes, tous élémentaires, que m'a donnés la parabole. Il est à peine nécessaire de faire remarquer que pour les cristalloïdes de tout ordre on peut employer, dans le but d'obtenir la cubature des solides de révolution correspondants (cas infini de cris-talloïdes réguliers), la marche déjà présentée au sujet de la sphère; 7r n'entre dans le calcul qu'au dernier moment et en raison de l'expression de la base.

Il suffira également d'indiquer ici en passant (Pl. IV) la grande multiplicité de formes singulières, bien qu'à volume très-simple, que l'on peut obtenir au moyen des cristalloïdes précités par voie soit de différence, soit d'assemblage. On arrive, par exemple, en superposant au double paratrémoïde le paradomoïde, et complétant de même la base inférieure, à former un sablier inscrit dans un prisme, dont le volume sera g de celui du prisme extérieur.

En retranchant d'un paradomoïde renversé le para-trémoïde ayant même base et même hauteur, on obtient une sorte d'entonnoir en forme d'écuelle polygonale à

2 • • • l'extérieur et dont le volume est 2 du prisme circonscrit. L'ellipsoïde à trois axes et les formes analogues don-nées par l'hyperbole et la parabole appartiennent à notre classification, aussi bien que les formes à base irré-gulière quelconque, pourvu que la surface soit soumise, à l'égard d'une verticale servant d'axe, à la loi de con-struction assignée en commençant aux cristalloïdes. Il en serait ainsi par exemple d'une coquille (Pl. IV) elliptique pour toute section passant par l'axe 0; le volume = base x î de la hauteur.

o Il en serait de même pour une corne d'abondance construite suivant la loi elliptique (si la loi était para-bolique, le coefficient serait;), car l'axe peut être exté-rieur au solide que l'on -doit envisager par différence (voir les cas obliques de la Pl. IV).

Des cristalloïdes très-élégants sont les cristalloïdes réguliers que l'on obtient avec des bases régulières étoi-lées ou fleuronnées.

16. Il resterait encore à étudier les rapports des sur-faces des cristalloïdes à celles des prismes correspon-dants. Par exemple, pour les ellidomoïdes équiaxes (di-rectrice circulaire), qui peuvent être décomposés en pyramides à base trapézoïdale infiniment petites, ayant leur sommet au centre, on voit, en divisant le volume par que leur surface est égale à la surface convexe du prisme, comme cela a lieu de la sphère au cylindre.

17. Nous avons dit, en commençant, que, laissant de côté les coefficients transcendants, nous ne nous atta-cherions qu'aux positions d'onglet pouvant donner des coefficients purement algébriques (*), et se rapprochant (*) C'est ce que nous avons appelé cristalloïdes élémentaires. par là des solides obtenus par la Géométrie des anciens, les prismes, les pyramides et la sphère (que je considère comme une double pyramide à faces courbes).

Les formules des onglets en général, même élémen-taires, auraient nécessairement des formes très-variées, mais l'analogie avec les solides précités donne un inté-rêt particulier à la distinction suivante.

Le coefficient, supposé élémentaire ou algébrique, sera indépendant de la hauteur comptée sur l'intersection des plans de l'onglet (laquelle devient dans l'assemblage d'onglets ou cristalloïdes l'axe du solide), ou il sera fonc-tion de cette hauteur.

Dans le premier cas, le cristalloïde composé se ratta-cherait à la série de la pyramide (* ) dont le coefficient ^ est constant; dans le second, il se rattacherait plutôt à la sphère qui se trouve dans la même condition algébri-que, 2 n'étant qu'une valeur particulière du coefficient

3a l ellidomoïdal (et sphérique) »- pr? valeur résultant de

( 2 CL ~~~ J-J ) L = a.

18. Résumons d'abord la marche générale des calculs, en partant de l'équation directrice

:y= af( x), d'où y, = a2 [(f(x)]\ f (x) étant une expression quelconque (transcendante

(*) Le prisme à coefficient i peut être considéré comme un tronc de pyramide dont le sommet est à l'infini ; méthodiquement, le prisme et la pyramide sont les deux cristalloïdes à directrice du premier degré (c'est-à-dire rectiligne), comme les ellidomoïdes, leshyperdomoïdes,etc., des Chapitres précédents sont les cristalloïdes élémentaires dérivés du second degré. ou non) et a représentant la fraction de passage d'un onglet à l'autre.

coefficient dans lequel a2 disparaît.

Passons à l'aire de la courbe a disparaissant également.

Si l'on établit la relation R entre ces deux coefficients, on aura

19. Essayons ici de procéder à quelques généralisa-tions , dans lesquelles on trouvera l'application de la distinction précédemment tracée. Nous rechercherons, à ce point de vue, les conditions à donner aux directrices des cristalloïdes, dans les degrés supérieurs.

En premier lieu, il s'agira des cristalloïdes à coeffi-cient constant (*).

L'équation y2 — ex a donné pour les onglets construits sur les deux axes respectivement les fractions constantes 1 1 - et ■= 5 .

En traitant les onglets dont les directrices sont

y2 = ex3, j2 — cx%, Y2 = ex6,

(*) Ce qui suit n'est que le développement d'une Note insérée dans le Mémoire autographié, à la fin du Chapitre III. on obtient les coefficients constants g» et^ (pour les onglets tracés sur l'axe des x).

Généralement, l'équation

J* = cxn donne pour l'onglet construit sur l'axe des x (la notation e = « étant l'angle des plans de l'on-glet).

Le volume du prisme correspondant est En calculant l'onglet construit sur l'axe des y, on trouvera le coefficient 20. On voit par là :

1° Que les coefficients des deux onglets simultanés, donnés par une courbe de la forme précitée, sont liés par la relation

a0 Que, si l'on rapproche le coefficient d'un onglet, n i par exemple, de la fraction qui exprime la quadra-ture de l'aire de la courbe directrice, dans la partie cor-respondante, soit il ~ 2 < la relation est Comme vérification des deux coefficients trouvés plus haut, on peut remarquer ici que, pour la directrice rectiligne, dont l'équation est

y — CX ou J2 = 6,2x2, en faisant n = 2 dans les formules, on obtient —\— et

soit toujours i, ce qui est bien le coefficient de la pyramide à faces planes (*).

En vérifiant pour la parabole, on fait n = i et on trouve les fractions déjà connues ^ et g- Si l'on retour-nait l'équation ainsi,

Y, — ax2, d'où y2 = a'1x*, le second coefficient donnerait à son tour , f , ou -» et

+ 4 2 par le premier on retrouverait ou (*) La relation établie entre les deux onglets simultanés devient ici (pour n = 2) = 1. En effet, les deux coefficients sont égaux.

4 2 La relation, pour la quadrature, devient, en y faisant Il = 2, - ou -• Or la quadrature est ici 21 (aire du triangle), et le volume de l'onglet correspondant 1 (volume de la pyramide) ; ce dernier coefficient est bien en effet les 2 de la fraction de quadrature.

Nous savons ainsi, au moyen de directrices convena-bles, construire des pyramides à faces courbes, ou cris-talloïdes, ayant des coefficients constants y ^

etc.; d'ailleurs, dans la formule, n peut être aussi fractionnaire.

Le système général de solides dont il vient d'être ques-tion jette un nouveau jour sur l'ancienne série pyrami-dale et conique et détermine le rôle qui lui appartient au milieu de ses congénères.

21. Nous intercalerons ici un onglet, dont le coeffi-cient n'est point constant pour une hauteur quelconque, mais reste seulement identique à lui-même (selon le de-gré de l'équation), sous certaines conditions de délimita-tion, comme on va le voir.

Soit donc encore l'équation

y2 == cxn.

Transportons l'origine en un point quelconque des y. Par le nouvel axe des x faisons passer notre plan oblique, lequel coupera, dans le cylindre dont la base a pour périmètre l'équation ci-dessus, un onglet fermé par un plan perpendiculaire au tableau , passant par l'axe des y. L'onglet ainsi obtenu a pour coefficient, pour la por-tion totale délimitée, l'expression (*) (*) Voici le calcul :

Soit l'équation

En transportant l'origine sur l'axe des y positifs à une distance iii, nous Pour n == 2 (pyramide), il vient Pour n = i (cristalloïde à directrice parabolique), il vient fraction déjà obtenue au Chapitre précédent.

Mais on peut retourner l'équation et écrire

y == axl ou y2 == a2 x4 ; en faisant n = 4 dans la formule ci-dessus, on obtient la fraction déjà trouvée directement.

L'intersection de la courbe et de l'axe des x a lieu pour une valeur de En introduisant cette valeur comme limite de l'onglet dans l'intégrale, 22. Comme exemple des coefficients dépendant de la hauteur du cristalloïde et devenant indépendants pour certaines valeurs définies, nous choisirons pour point de départ l'équation directrice Nous lui laisserons cette forme, afin que l'on aperçoive immédiatement comment l'ellipse y est comprise. Selon que n est pair ou impair, les courbes que repré-sente cette équation sont des courbes limitées dans tous les sens, ayant pour demi-axes respectivement ± y a2 et ± b, ou des courbes ayant leur sommet sur l'axe des x positifs, à la distance y/a2, et coupant l'axe des y en deux points* + b, puis se prolongeant indéfiniment dans le sens négatif.

Faisons passer un plan oblique par l'axe des x, et pro-posons-nous d'évaluer l'onglet total correspondant à l'aire comprise dans l'angle positif des axes.

1 2 Or, le volume du prisme correspondant à la base ^ et Le coefficient est donc, pour la portion indiquée,

Si n = i (parabole), la fraction égale -•

Si n = 2, ce qui correspond à une directrice ellip-tique, la fraction se réduit à 2.

Si n = 3 ou 4, etc., la fraclion devient -7, 4, et ainsi de suite.

En envisageant seulement le cas des courbes limitées, pour lesquelles n — 2 m est pair, le coefficient devient

et, pour les valeurs successives de m, on trouve 2 ni —1 * les fractions etc., série ayant une connexité par-ticulière avec le problème d'Archimède, et dont la va-leur tend de plus en plus à se rapprocher de l'unité.

Les cristalloïdes formés d'onglets jouissant des divers coefficients fractionnaires ci-dessus ( 2 lîl \ constituent

2 ni -h 1 / une famille de pyramides à faces courbes (à coefficients dépendant de la hauteur), très-intéressante en ce qu'elle comprend les ellidomoïdes , et la sphère par consé-quent.

23. Revenons aux cristalloïdes à coefficient constant, et proposons-nous d'évaluer le tronc d'un tel cristal-loïde, ou plus simplement celui d'un onglet (toujours à section triangulaire) (*).

Soit le coefficient dudit onglet, et écrivons, pour simplifier, ^ soit h la hauteur du tronc, limité d'ail-leurs par deux plans perpendiculaires à l'axe.

Soient y et Y les coordonnées correspondant aux deux bases du tronc considéré. Les abscisses sont x et x + h. (*) Le calcul des troncs de cristalloïdes est le développement d'une Note qui a figuré dans mon Mémoire autographié sous le titre iïJnnexe.

Les bases triangulaires étant de la forme — > on a pour le volume cherché En effectuant la division, le quotient se compose de termes positifs en nombre 2 = n + 1. Chacun de ces termes, multiplié par —1 peut être considéré comme la base d'un onglet ayant le même coefficient — ou ——

0 ^ III 11 -f-1 que l'onglet proposé et la hauteur commune h. Ainsi, un tronc de cristalloïde à coefficient constant ^ est, pour le volume, équivalent à la somme de m cristal-loïdes de même formule ayant leur hauteur égale à celle du tronc, et dont le premier et le dernier ont pour bases

/Y5 ) les bases respectives du tronc ( - et 2e j .

Dans le cas du paradomoïde c'est même à ces deux termes seuls que se réduit le quotient de la division, et c'est en cela, aussi bien qu'en raison de la simplicité du coefficient ';' qu'il est permis de dire que, malgré la courbure de sa surface, le paradomoïde jouit de pro-priétés plus simples que la pyramide.

Dans le cas de cette dernière ( m = - ? n étant

) égal à 2, les n + i solides se réduisent à trois (les deux bases et la moyenne).

Dans le cas du paratrémoïde ', on obtient les cinq termes suivants :

On conçoit cette augmentation successive du nombre des solides, en remarquant qu'à mesure que la surface cristalloïdale devient de plus en plus concave, le solide est proportionnellement plus chargé de matière dans la partie qui touche à la base et où se prend le tronc à éva-luer. (Ajoutons ici qu'en partant du volume algébrique du segment de sphère, on arrive facilement à une formule analogue pour le segment d'ellidomoïde en général.)

24. En résumé, la théorie des cristalloïdes, telle qu'elle résulte de notre travail, doit être envisagée comme formant intermédiaire entre la Géométrie des anciens et celle des modernes. Elle complète la première et s'y rattache par la considération des formes polygo-nales, et elle appartient à la seconde par la présence de l'équation avec ses diverses formes et ses divers degrés, bien qu'à titre de directrice seulement; et c'est, du reste, en raison de ce rôle tout spécial de l'équation que notre classification s'éloigne des errements habituels de la Géométrie analytique à trois dimensions, dans laquelle l'Algèbre est appelée à représenter la surface même qui limite un solide. On se trouvait conduit, par cette mé-thode, à négliger complètement tous les assemblages ou corps pluro-cylindriques, lesquels constituent pourtant des séries pleines d'intérêt, et dont les solides à base courbe ne sont, en réalité, que des cas particuliers.

Si l'on se reporte à ce qui a été dit, au commencement du présent Essai, sur la construction des cristalloïdes en général, on reconnaît que l'on peut envisager ces corps géométriques comme engendrés par le mouvement paral-lèle à lui-même d'une aire polygonale dont le plan reste-rait normal à un axe donné, et dont un point serait as-treint à rester sur ce même axe. Mais il est entendu que le périmètre générateur, tout en restant semblable à lui-même, subit une expansion ou une contraction suivant le tracé de la directrice.

C'est ce que l'on peut préciser en disant qu'en envi-sageant, dans le plan mobile, les coordonnées et les abscisses du périmètre générateur, ces deux éléments varient d'après une seule et même loi.

Au contraire, si les ordonnées et les abscisses du périmètre de l'aire variaient respectivement suivant des lois différentes (et c'est un cas plus général), l'aire gé-nératrice cesserait de rester semblable à elle-même, et, comme conséquence, l'intersection des faces courbes en-gendrées par chacun des côtés du périmètre polygonal cesserait d'être comprise dans un même plan, ce qui a été démontré vrai pour les cristalloïdes. Il n'y aurait donc pas lieu de tenter, dans ce cas, une décomposition en onglets à surface cylindrique.

C'est ce cas général qui a donné lieu à la Note sui-vante, dans laquelle on ne s'est d'ailleurs pas borné à l'hypothèse d'un axe rectiligne.

Cette Note est extraite du Mémoire autographié; les considérations qu'elle renferme ont conduit l'Auteur à reconnaître ce principe : que le rapport de deux vo-lumes est identique à celui des aires variables généra-trices de ces volumes, quand le rapport de ces dernières reste constant dans toutes les positions. De là résulte l'application de la méthode des limites pour le passage de tout solide de révolution au volume du cristalloïde circonscrit, et à son onglet.