PRÉFACE DE L'AUTEUR

For what is the theory of déterminants? U is an algebra tipon algebra ; a calcalus which enables us lo combine and foretell the results of algebraical opérations, in the same way as algebra enables us to dispense wilh the performance of the specidl opérations of arithmetic.

Sylvester, PhiL Ma^., i85i.

Qu'est au fond la théorie des déterminants? C'est une algèbre au-dessus de Talg^re, un calcul qui nous met à même de combiner et de prédire les résultats des opérations algébriques^ de la même manière que Talgèbre nous permet de nous dispenser de l'exécution des opérations particulières de Tarithmétique.

Les recherches de Cramer et de Bezout (i) sur la résolution des équations algébriques linéaires et sur FéUmination ont donné naissance à la théorie de ces fonctions qui, primitivement appelées résuUanteSj sont généralement désignées dans l'époque présente sous le nom de déterminants. La loi de formation des déterminants est due à ces deux géomètres, qui la déduisirent par analogie de la considération de la forme que présentaient les formules de résolution pour les cas de deux et de trois équations du premier degré à

( 1 ) Introduction à Vanalyse des lignes courbes algébriques. Appendice y i^So. — Histoire de l'Académie royale des Sciences y

VI PRÉFACE DE l'auTEUR.

ijiihmt d'inconnues. Celle loi forme encore le but principal des travaux de I^place et de Vandernionde ( i ) sur réliminalion, travaux dans lesquels sont démonlrées comme corollaires de ladilè loi et la propriété que possèdent les délefminanls de changer de signe ou de s'annuler lorsqu'on permute ou qu'on suppose idenliques quelques-uns des éléments, et celle autre propriété d'après laquelle un déterminant d un ordre quelconque est équivalent à une somme de produits de déterminants d'ordre inférieur (§ IIIJ. Dans le Mémoire de Lagrange (2) relatif au problème de la rotation d'un corps solide et à la pyramide triangulaire, il est fait usage de déterminants du troisième ordre, et Ton trouve énoncées à Tégard de ces déterminants quelques propriétés qui ont été dans la suite étendues aux déterminants d'un ordre quelconque. Ces propriétés peuvent se réduire aux suivantes : 1*^ le carré d'un déterminant est lui-même un déterminant; a® le déterminant à éléments réciproques d'un déterminant du troisième ordre est égal au carré de ce dernier déterminant {§§ V et VI). Gauss (3), dans ses recherches sur les formes binaires et ternaires, a généralisé la première de ces propriétés en

(i) Histoire clc l* Académie rojnle des Sciences^ '772» Seconde Partie.

(2) Nouveaux Mémoires de V Académie royale de Berlin, 1 773.

(3) Recherches arithmétiques, i8oj,

PRÉFACE DE L'ÂtrTEUR. Vil

démontrant, pour les déterminants du second et du troisième ordre, que le pi'oduit de deux déterminants est lui-même un déterminant. Dans l'ouvrage classique de cet auteur se trouve introduit pour la première fois dans la science le mot de déterminant. Les théorèmes de Lagrange et de Gauss furent étendns par M. Binet ( i ) à la somme des produits di'un nombre quelconque de déterminants du second, du troisième et du quatrième ordre; mais la généralisation complète de ces théorèmes pour les déterminants d'un ordre quelconque est due à M. Cauchy (3). Les deux premières sections de la seconde partie de l'important Mémoire de cet auteur Sur le nombre de valeurs qu'une fonction peut acquérir, etc., contiennent la règle générale pour la multiplication des déterminants, et les principales propriétés des déterminants à éléments réciproques ; dans les deux autres sections se trouvent démontrés les plus importants théorèmes sur les déterminants mineurs et sur les déterminants des mêmes déterminants nommés par le même géomètre déterminants dérivés. Au Mémoire de M. Cauchy vinrent s'adjoindre successivement divers travaux (3) roulant sur l'application des théorèmes

(i) Journal de P École Polytechnique, XVP Cahier, i8ï3.

(2) Journal de l'École Polytechnique, XVIP Cahier, i8l5.

(3) Crelle, Journal fur die mathematih, Band XIÏ. — LiocviLLE, Journal de Mathématiques , tpme II, etc.