IO

tion des équations. Considérons F équation

et supposons que les coefficients a, soient' des fonctions d'une variable y. Soient x^ , ^«', . . . , x„ les racines de cette équation; En substituant Tune d'elles, jc, dans cette même équation et différent) ant par rapport à y dont x est alors fonction, il vient

f^ (x) étant la dérivée de f {x) en n'y faisant varier que x et y {^) la dérivée de la même fonction quand on a égard à la seule variabilité, des coefficients. Or en désignant par A le déterminant •

. Xn

on a [voir pages 88 et 91 j I I rfA

F'(x) Arfx"-

^/,__| Jb« • • 52„

Si S2 . . • ^n— 1 X

Sn-2 Sn-i . • • S2n-i ^~^

par conséquent, en substituant, il viendra

^+/'(r)VQ = o.

(2It)

Si l'on suppose que les coefficients def{x) = o sont des fonctions linéaires entières de la varîabley, on déduit facilement de cette formule l'important théorème relatif à la résolution analytique des équations algébriques que le professeur distingué M. Betti a publié dans les Annales de M. Tortolini (année i854)» Effectivement, quand on suppose

iJ en résulte

et le polynôme Q se réduit à une fonction algébrique rationnelle de la seule variable x en remplaçant dans ce po-

lynôme ypar sa valeur — \\-^' La formule (*)*se présente

ici sous une forme plus commode dans les applications que celle que lui a donnée M. Betti , Nous prendrons l'exemple même que choisit cet auleuf , savoir

On a dans ce cas

D='5^j'(j^^+io8), .

^3 / I2X* — ^^ y "f" i^p-r* — 28j?' j 4- x'^y^\ ^~* \ -i-3ooj;' — 4ojr/4-8/' /'

OU, en mettant pour y sa valeur j^* -h 5x',

Q = 5* x» (a?» -h 5 )' (x«- -h 4^* — 8 x' -M 2) ; et, par conséquent,

5 j-rv^{r'H-ïo8) = x(^' +-5) v^(x«-i-4x^— 8^?-f-i2).

ajf

dx d* X

( * ) La formule doot il s*agit faisant connaître ^ et par suite -j^i il sera

possible, par la formule de Maclaurin ou de Taylor, de développer x suivant les puissances de j;. ( Note du Traducteur.)

Il est évident que toutes les fois que ^ [x) sera égal à une constante, (f se réduira à une fonction entière de la variable x et du degré

et D sera du degré n — i .

Je considère à présent les deux écJUations

. ifjCr da^ dxr da-i dxr dun

dox dXr doj dx, ' da^ da?r

dxf dox dxr da^ dxr da^ ,*,.

art, dXs «JTî dXf dan dx,

on en déduit, en multipliant la dernière par x\ et sommant

par 2, , . .

dXr V^ rf«, , dXr V^ dtti i dXr ' V^ dttn i i

da, -^ dx, ' da-t ^d dx, ' . da^, 1^ dx, '

Mais

donc

^ ^ f/<î, dOi da^

équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire une racine quelconque dey(j:) == o (***). Il importe d'ob-

(*) Elles résultent i m média temeut de —^ = y ~r^ - — -* quand on v fait

/ = i successivement a/ r= .r ., y? = x^. ( Note du Traducteur.)

( ** ) FoiV la remarque qui termine le précédent Mémoire de M. Brioschi.

{Note du Tradueleur . ) ( '**" ) Crelle, tome XLVIII. Article du professevir Raabe.

server que Féquation (a) ne peut fournir que 7} équations indépendantes entre elles el qui proviennent de / = o , i^a,...,/» — i^ car celle qu'on trouverait en posant i = n résulte de ces dernières multipliées respectivement par ^n) ^n-i 9 • • • î ^1 <it- ajoutées. La même chose a lieu pour Téquation suivante, qui n'est autre que Téquation (a) mise sous une autre forme:

dx dx dx

-j- -4- 2 j/H., -j- H- ... -f- w.*/H-«-i -faS\ as 2 as,i

Quand on suppose i = o, Féquation (a) devient

dx . \ dx dx

dat ^ dOi dûn

et Ton vérifie qu elle est satisfaite en prenant

ar = ar+i — {n — r) f- ^ '-^ i^^, -1...

■ / y (^ - /•) (ti — r -f-l). . .(/l — i) /i h\-*-^ ^^ ^ i.2.3...(r4-i) /^'•^''

et OÙ (p désigne une fonction arbitraire. On remarquera que les dr sont précisément les coefficients de Téquation que Ion obtient quand on fait évanouir le second terme de

Les quantités «^ étant homogènes en indice (*) par

(*) Voir la remarque qui termine le Mémoire.

rapport à ^ i , a, , . . . , r;,.^i , on aura

(a) ^^-1- -^ 2«2-7- -♦-... -4- (r-+-i)ûr+i-^^ =:(/'-f-i «r-

Au moyen de cette équation et de ses analogues, on tran'sforme aisément celle qui se déduit de (.a ) pour i = i , savoir :

• dx dx dx

• dax da^ da^

cl l'on trouve

dxx doLi doL^^x

dm dn dtû

2ai -—- 4- 3a,-^-|-...-t-/îa„, —-î- =y;

d'où

<p étant le symbole d'une fonction arbitraire , et

Les quantités sj^x , ^jS^ , . . . sont .les coefficients de Téquatîon que Ton oStient quand on fait disparaître le second terme de f[x) = o, et qu'on réduit à Tunité le coefficient du troisième; effectivement, par la substitution •

— -^^-r va.»

celle équation devient

Si dans Féquation (a), quand on y aura fait ^=2, on substitue pour x sa valeur .( è), on obtient, après quelques

réductions,*

dm r

dm ' 2 2 "1

actr ' n n J

avec les conditions «o = o, of„ =: o; et en substituant pour (p sa valeur (c), on obtient

avec les conditions (3o = i, |3„i = o.

En faisant

il vient

équation qu'il faudrait intégrer pour connaître la forme de la fonction ^

(Pavie, octobre i854.)

Remarque du Traducteur. — Si l'on considère un terme Aa:?'a,«... aj^ d'une fonction algébrique, entière et rationnelle, et qu'on multiplie l'indice de chaque lettre a, par l'exposant de cette même lettre , la somme faite de tous ces produits , c'est-à-dire i Xj -f- 2 X , -|- 3 X, -f- , , . + « X>, , est ce que M. Transon nomme Yindice du terme dont il s'agit. L'indice ainsi défini restant constamment le même

•(a.6) pour les différents termes de la fonction, on dît dans ce cas que la fonction est homogène en indice. Une pareille fonction vérifie, pour 0, Féquation différentielle partielle

«13 h 2û,-- h. .4-«ûr«:7-=/?9,

(tax cUii aOn

où p désigne l'indice. Et si l'on cherche les fonctions algébriques qui vérifient réciproquement celte équation, on trouve qu'elles sont nécessairement homogènes en indice. Il suffit pour s'en convaincre de remplacer ^4,, as ,... , ^ïn,par

^'a' ^fv'? ^nt ^^ ^^ réduit l'équation précédente à la forme canonique qui caractérise les fonctions homogènes.