LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
1 . Dans le tome XX Vil du Journal de Crelle (p. io5), M. Eisenstein a signalé la relation suivante :
^ ^ \ =a;a;-6a,a,a,A3+4a.a; + 4aîa,--3a;aî,
où
A, =r— ao«i ^3-4- sajûa — arj «a, Si Ton fait
les dernières relations reviennent à
1 du . i du i du i du
A«=— -7— î Al = ^-7—? Aa = ^-7-j A3=--r— •
2 dûQ o oiai o air?! ' 2 0^3
L'expression u est le discriminant bien connu de la fonction homogène du troisième degré
(2) «oX*+3tf,a:»j^+ 3«-iJ?r'-ha3j';
et si Ton désigne par U le discriminant de
/ON du ^ du ^ du ^ du ^
^ da^ da^ '^ da^ da^^
Téquation (i) pourra s'écrire .
M. Sylve«ter a appelé l'expression (3) Véi^eciant du discriminant de la fonction {a), et généralement, si l'on considère la fonction homogène du /»""' d^ré
(4) a^af^-hnata^-'x-^— ^fla«^*r'H -+-
et qu'on représente par (f un invariant quelconque de cette même fonction , il nomme évectant de cet invariant Fexpressiou suivante :
</«g (iai ^ da^ dan
Cela posé, la relation d'Eisensteinpeut être démontrée et généralisée au moyen de ce théorème :
Si l'on considère Févectant d'un invariant quelconque d'une fonction homogène du /i**"** degré, tout invariant de cet évectant sera une fonction algébrique, entière^ rationnelle des invariants de la fonction homogène considérée.
Cette proposition pourrait se déduire de l'importanle loi de réciprocité de M. Sylvester (*) ; mais il ne sera peutêtre pas inutile de l'établir directement comme il suit :
Un invariant quelconque (f de la fonction (4) doit, comme on sait, satisfaire aux deux équations
(5) ^rg;., ar=0, ^ (/l — r + l) ûr Otr-i = o >
oùûf^ = -T^5 et pareillement un invariant ^ de l'évectant
(*) The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, november i85'2. — On the principles of the calculas qf Forms, sect. IV,
de rinyariant ç^ c'est-à-dire un invariant ^ de sera déterminé par les deux équations
L'invariant <p sera évidemment une fonction algébrique, entière et rationnelle des coefficients a©, rii, . . . , a„, et l'on aura
û?'»!' ^ £/i|^ dcLs
dijtr "" -^ rfa, dar
Par suite , en observant que —^ = -r — 1- = -r-'^' il viendra ^ </ar dasdor da,
r::=zn ' s=zn. r=.n
Mais la première équation (5), différentiée par rapport à fl, 5 donne
donc , 'en observant que a„^.i n'existe pas ,
c'est-à-dire, d'après la deuxième équation (6),
et Ton trouverait de la même manière
r =in r = i
Ces deux équations démontrent que ^ est un invariant de 'la fonction (4)^ ou, en général, une fonction algébrique, entière, rationnelle des invariants de cette même fonction.
Si rinvariant (f est du m**"*' degré, et que l'on suppose <p du degré r par rapport aux coejScients de l'évêctant, ^ sera du degré r(m — i) par rapport aux coefficients de la fonction.
Dans le .cas où la fonction est diji troisième degré, son unique invariant est le discriminant u ; conséquemment le discriminant U de l'évêctant de li (lequel discriminant, d'après ce qui vient d'être dit, sera du degré 4» 3) devra être égal à une fonction algébrique, entièjf'e, rationnelle du degré de u , c'est-à-dire on devra avoir
U = hu\
h étant un coefficient numérique qui, comme on l'a vu, est égal à i6.
Pour la fonction homogène du quatrième degré
on a rinvariant quadratique l'invariant cubique
Y3 = ûfo ÛTj «4 -4- 2 ^, tZj ^3 — flo «î — «< ^î — «î >
et le discriminant
( 207 ) Représentons par Et, Ej, Eg les évectants correspondants à ces trois invariants, et par Yî (Ej) , Yj (Ej) , Ys (Ej) , . . . les invariants quadratiques, cubiques, etc., des évectants
Es, Eg,....
En prenant, par exemple, la forme Ys (Eg), évidemment du quinzième degré, on aura, d'après le théorème précédent,
Y3(e.) = /y;y3 + /wy;y;-h/îYJ;
et pour Yj(E8), du quatrième degré> oii aura aussi
/, m, /i, p étant des coefficients numériques. Ces coefficients , pour la fonction homogène du quatrième degré , se déterminent facilement, et Ton obtient les relations
Y.(EO = Y„ Y,(E3)=:j^YÎ, \
Y,(Ee) = 9Y;(YÎ-27YÎ) = 9YÎD. On trouve semblablement
Y3(E0=Y3, y3(E3)=:^.(54y;~y;), Y3(eo=-54Y3D%
et enfin
• D(E.) = YnE.)-37Y5(E.)=729(Y;-54Y;)D'.
La dernière de ces relations est pour les fonctions du quatrième degré l'analogue de la relation (i) pour les forme» du troisième degré.
Des équations
d f]f dif dp
da^ da\ dOn
on peut déduire a©, «i,..., cin en fonction de «o? «i v •? ^//
et rëciproquement^ et si Ton considère f comme dépendant de (Xoj oii^. . .y «n en tant que ces dernières quantités dépendent elles-mêmes de ao , a^ , . . . , on aura
dtf doL^ d f d ai da^ dur dcLx dor
df dan df dan dOr dOr
On peut déduire de là les valeurs de -r- > t^j • • • 5 et l'on * da^ rfa,
aura par exemple
d (0 da^
dat a, -- — dûx
dax dan
dan da^
dan da.
dan
OU
\ da^ dat dan)
En se rappelant que -j-^ = -—^ l'équation précédente peut se mettre sous la forme
(.-.)Ag=
da^ dâ^
dai dan
( \ dan
dan dan
et, comme en vertu de l'homogénéité de y ,
dar dar
da^ dai
dar f X
.4- «« ^=(/w — ijar,
si Ton ajoute aux éléments de la première colonne ceux des autres colotines r^pectîvement multipliées par — «t ? — «2 , . . . , — «„', on ^Btien.t
et généralement
Il résulte de là que si l'on considère révectanl.de l'inyariant du degré r d'une fonction homogène quelconque (4) ^ l'invariant du r'""* degré de cet évectant pourra s'exprimer par le moyen de Fruvariant considéré de la ifonction; c'ést-à- . dire que Ton aura, en se conformant à la notation adoptée,
Y.{E.)=Ar^'.- ■ ■
En faisant, pour abréger, 'l' . .:
on aui'a
et, par suite,
Ces relations se vérifient précisément poui' l'évectant du discriminant de la fonction homogène du troisième degré, et Ton a
— — = lb«'âfo, ""T- :=^IOtt'<T,, - — = IOa'a2, -T— = lOW^aa,
formules que M. Eisenstein avait donr^'es sans démonstration.
