Je passe à quçlques formules qui ont trait à la résolu

tion des équations. Considérons Téquation

et supposons que les coefficients ai soient des fonctions d'une variable y. Soient o^i , a^j , . . . , jr^ les racines de cette équation. En substituant Tune déciles, x, dans cette même équation et différent! ant par rapport à y dont x est alors fonction, il vient

f (x) étant la dérivée de f(x) en n'y faisant varier que x et y [y) la dérivée de la ménK fonction quand on a égard à la seule variabilité des coefficients. Or en désignant par û le déterminant

%JU %AJ • • • X

on a {^voir pages 88 et 91)

I db.

Y'{x) tadx''-'

•>2 . • • Su

^m—2 Sn—i • • • ^2n—i X^

par conséquent, en substituant, il viendra

^V^+/'WVQ = o.

Si Ton suppose que les coefficients de f(x) = o sont des fonctions linéaires entières de la variable y, on déduit facilement de cette formule l'important théorème relatif à la résolution analytique des équations algébriques que le professeur distingué M.«Betti a publié dans les Annales de M. Tortolini (année i854): Effectivement, quand on suppose

îl en résulte

— v/D-hJ.(x)v^Q = o,

et le polynôme Q se réduit à une fonction algébrique rationnelle de la seule variable a:' en remplaçant dans ce po-

lynôme j^ par sa valeur — * * La formije (*) se présente

ici sous une forme plus commode dans les applications que celle que lui a donnée M. Betti. ffous prendrons l'exemple même que choisit cet auteur, savoir

On a dans ce cas

D = 5^7'(j»-hio8),

ou, en mettant pour j^ sa valeur x^ -f- Sx',

Q = 5^ X» (x» + 5)' (:c* H- 4^* — 8jc' -h 1 2) ; et, par conséquent,

5 ^J^ V(r'-Hio8) = ar(x^ -h 5) v^(ji« + 4^' — 8^'4- 12).

dx d* X

( * ) La formule dont il s^agit faisant connaître -r- et par suite —r-ry il sera • " 4x dx

possible, par la formule de Maclaurin ou de J'aylor, de développer x sui-

vaut les puissances de/. ( Noie du Traducteur.)

11 est évident que toutes les fois que ^(x) sera égal à une constante, f se réduira à une fonction entière de la variable x et du degré

et D sera du degré n — i .

Je considère à présent les deux équations

dXr dtti dxr da2 dx^ dun

dox dXr doi dXf da,^ dxr

da^ dXi dxi dXs ' ' ' dOn dx,

on en déduit , en multipliant la dernière par x\ et sommant par 2, ,

dXr ^ da^ , dXr '^ da^ , dxr y^ dan i *

da^ ^ dx, ' ^ da, ^ dx, ' ' * ' dOf, ^ dx^ ' *■

Mais donc

. . ^ dx . d:v d,T.

^ ' da, da-t da.

équation aux dérivées partielles à laquelle ^it satisfaire une racine quelconque àef[x) = o (***). 11 importe d^ob-

I = rt

(* ) Elles résultent immédiatemeut de ~- = > -j^ - — quand on y fait

i = I successÎTement a» = jr^, p = x^. {Note du Traducteur.)

{**) Voir la remarque qui termine le précédent Mémoire de M. Brioechi.

( Note du Traducteur . ) (**") Crelle, tome XLVllI. Article du professeur Raabe.

server que réquation (a) ne peut fournir quen équations indépendantes entre elles et qui proviennent de / = o , 1 , 2,. . . , /i — 1 5 car ceUe qu'on trouverait en posant i = /» résulte de ces dernières miiltipliées respectivement par «„, a„i , . . , , «1 pt ajoutées. La même chose a lieu pour réquation suivante, qui n'est autre que Té^uation [a) mise sous une autre forme :

dx * dx dx

Quand on suppose *== o, l'équation, (a) devient

dx , . dx dx

/i -; h (/2 — i) ûi -i h ... -h ûr„, h I = O,

rtrt, .^ ' a«a dan

et l'on vérifie qu'elle est satisfaite en prenant

et OÙ y désigne une fonction arbitraire. On remarquera que les ar sont précisément les coefficients de l'équation que Ton obtient quand on fait évanouir le second terme de /(x) = o.

Les quantités a^ étant homogènes en indice (*) par

(•) Voir la remarque qui termine le Mémoire.

rapport à ai, a, , ... , (f,.^^ , on aura

Au moyen de cette équation et de ses analogues, ou transforme aisément celle qui se déduit de (a) pour i = i , savoir :

lix dx d.T *

Ox- — h ia^ h...4- /î^/, -j- = î?,

et Ton trouve

do dff d(f

a ai r/aj ^aj,i

d'où

ip étant le symbole d'une fonction arbitraire, et

Les quantités \/(3i , y'jSs , . . . sont les coeflScients de Téquation que l'on obtient quand on fait disparaître le second terme de f(x) = o, et qu'on réduit à l'unité le coefficient du troisième^ effectivement, par la substitution

n celte équation devient

of = hf va»

Si dans l'équation (a), quand on y aura fait /= 2, on substitue pour x sa valeur (i), on obtient, après quelques

( »«5 ) réduction^,

avec les conditions «o = o, or» = o ^ et en substituant pour (f sa valeur (c), on obtient

avec les conditions (3o = i, p„-i = o.

En faisant

il vient

2r ^ Kr-f- 3) br+t -^ j{r -^ ti) bt br—^in -- r --i) br-i

équation qu'il faudrait intégrer pour connaître la forme de la fonction ^

(Pavie, octobre 1854.)

Remarque du Traducteur. — Si Ton considère un terme

A ah ai*,,, ai" d'une fonction algébrique, entière et rationnelle, et qu'on multiplie l'indice de chaque lettre a, par l'exposant de cette même lettre , la somme faite de tous ces produits , c'est-à-dire i X, + 2 1 j -h 3 13 + . . . + n X„ , est et que M. Transon nomme V indice du terme dont il s'agit. L'indice ainsi déBni restant constamment le même

{ *>6 ) pour les diflerenls termes de la fonction, on dit dans ce cas que la fonction est homogène en indice. Une pareille fonction vërifie, pour©, Féquation différentielle partielle

d9 d^ dB

où p désigne Tindice. Et si Ton cherche les fonctions algébriques qui vérifient réciproquement cette équation y on trouve qu'elles sont nécessairement homogènes en indice, n suffit pour s'en convaincre de remplacer a^jai^,,.^an par

ûj', aj^.., a'^j ce qui réduit l'équation précédente à la

forme canonique qui caractérise les fonctions homogènes.