I -Tiji
I x^yt
Cette équation représente évidemment ime courbe du troisième ordre, et comme elle est d'ailleurs satisfaite quand on fait x = Xi^ a:,, . . . , Xe, y ^yi^yt-) • • • tj^^ la courbe passera par les six points donnés. . ^
§ rV. — De la résolution des équations algébriques
linéaires.
Les formules trouvées au §111 sont d'un grand usage dans la résolution des équations algébriques linéaires. Si l'on considère le système d'équations
^1,1 Xi -H fl|,a Xj -4- . . . -f- fi\,n «ï^n — *i >
^2,1 X,-^ «2,2^1-1- ... -h Û2,n Xn = «2)
^n,\ Xx -+- (1,1^1 Xi-\- . . . -T-Onn X^ — ///i)
( i5) on obtiendra la valeur d'une quelconque des inconnues OTi, Xs, . . . , j:„, par exemple de x^, en multipliant ces équa-
dP dP dV
lions respectivement par -; — > -; — > • • • » - — > et aioutant
dai,s da^^s da^,, *'
les résultats obtenus. En effet, dans cette somme tous les coefficients des inconnues , moins celui de a:,, seront égaux à zéro, puisque leur composition est la même que celle du premier membre de la première équation (4), et le coefficient de x, sera égal à P en vertu de la première (3) : on aura donc
le symbole a,.,, représentant le déterminant (2). Par ce procédé, on formera le groupe
Pj:„= a, a,.„-+- a,a,,„-|-. . .-l-/i.a„,„,
qui fournit immédiatement les valeurs des inconnues. On remarquera que le dénominateur commun de toutes ces valeurs est précisément le déterminant P, propriété qui , signalée pour la première fois par Cramer, peut être considérée comme l'origine des recherches ultérieures des géomètres dans la branche de l'analyse que nous exposons.
Pareillemeht , si Ion considère le système
«1,1 2| -h «M Zj -f- . . . -h an,K Zn= <*! >
[que quelques auteurs nomment système dérivé du sys-
( i6 ) tème (i6 ) j ^ on obtiendra
D est important d'observer que les inconnues des deux systèmes {i6) et (i8) sont liées par une équation que l'on obtient en multipliant les équations qui précèdent par 7/1, Uf^,.,jUn respectivement, sommant les résultats et ayant égard à (i 7) ; ou bien en multipliant les équations (17) respectivement par (^19 (^s, . • • 9 (^„ sommant les résultats et ayant égard aux équations qui précèdent. De l'une ou l'autre façon , on arrivera à
(19) a,Z, -h «jZj-»-. . .H- tt„8„= fiXi-h PjJfa-l-. . .-|-i'na?„.
Les équations (17) subsistent quels que soient lii, z/^ v 9^»? si donc toutes ces quantités sont égales à zéro et qu'il n'en puisse être de même de jCi , Xj, . . . , a:„, on devra avoir
Par où l'on voit que cette dernière équation est le résultat de l'élimination des inconnues Xi, x^,. • «^ «îc„ entre les équations
^1,1 J?i -h «i,j aTj H- . . . -H «!,„ X„ = O , «H,! «I H- «n,2 ^2 -+- • • • "H <ï|i.n «^n = O ,
OU, si l'on veut, le résultat de l'élimination des inconnues Zi, -Zt,. . ., ^„ entre les équations (18), quand on y suppose p»! = p», = . . . = f^n = o.
Si l'on fait
tt| — "— û|^0 «^0 t ^'i ' — ^~ ^2,0 «Ï^O » • • • > ''« — """ ^n,o^^
( il ) les équations (17) donnent
Par,i = — «,(a,,,a,,„+«,,,cw,n-f-.
d'où
^2îj JT^lXiIX]*.*, ^H
àn,t un,»» • '^11,11
«ji,i«ii,i.
Ces proportions font conilaitre les valeurs des rapport^ qui existent entre les n -f- 1 inconnues x^, x^ x^^ , . .^ x„j qui entrent dans les équations en nombre n .
«2,0 -a^o -h «j,i x, + . . . -4- aa,„ 0?,:= o ,
[ii)
Applications.
I**. En représentant par -j - les coordonnées d'un point
quelconque d'un plan ^ Téquation d*une conique située dans ce pian sera
f = ax^ H- hy'^ H- te* H- 2 ejz -+- 2,fxz -f- 2 ^xjk = o.
Pour que la drdite représentée par l'équation
Ix H- my H- /î3 = o
soit tangente à cette conique ^ on devra avdir les relations
ojc, -h /17, -H/z, / = o ^
Ax, -h ^J^i -f- ^5î, :/îi = o,
/r, -h ^/i 4- C2i — - « = o, /jF,-f-m/,-i- /?z,= o^
OÙ Xi^ yi<i Zi sont les coordonnées du point de îcontact. La
condition nécessaire pour que la droite soit tangente à la
conique, sera donc
Imaginant une seconde droite
la condition pour qu'elle toucte la conique sera
a h f l, h b e rrix f e c n^ Il nii W| o
Pour trouver les coordonnées du point de contact , observons qu'en posant •
h b e m Wi
^ — f e c n Hx
/, /W| /îi o o
et ayant égard à { 23), (24), on a les équations
dix dnix dnx
d^ , di^ dùi
ail "f^i
dn.
dà , d^ dà „
dli dm\ dîii
At^ dà
^ dli dmi
dt^
dn.
dans lesquelles -77- ? -7— > -j— sont les dérivées partielles du * a/, anix ««, *
déterminant À par rapport aux éléments /i, mi, ni qui
constituent la dernière ligne ou bien la dernière colonne.
On a fait d'ailleurs
11 suit de là que les coordonnées du point de contact de la première droite avec la conique seront déterminées par les rapports
dùk dùi dti
et l'on aura semblablement pour les coordonnées du point de contact de la seconde droite avec la conique,
__d^ dà dA
Si Ton se souvient que
dà dà dA dA
dm dftx dnti dn
dA dA dA dA
dn dix drix dl
dA dA dA dA
dl dtTii dli dm
d^A dmdfix^
d'^A dndlx
dldmi
Téquation de la corde de contact sera
dmdrii dndlx dldmi
ou bien, en désignant par 0:07 yov^o les coordonnées du
point de rencontre des deux tangentes ^
ou encore
La droite que représente cette équation est nommée la polaire du point (xo, y^i -^o) lequel prend le nom de pôle.
En concevant deux autres droites représentées par les équations
Xx -f-p^-+-v« = o, >,a:H-fii,7-l- v,z= o,
et supposant qu'elles touchent la conique , la polaire de leur point d'intersection aura pour équation
X fi V
or-f-
\ pi V,
>i Pi V,
Si l'on désigne par X , Y, Z les coordonnées du point de rencontre des deux polaires , par Xi, ^1, z^ les coordonnées de la commune intersection des deux droites ( 26 ) et que l'on pose, pour abréger,
j,z«) -hB (x,«, — x««,)h-E(j:oJ', — ^,j^o) = >^Y, jiz,) 4- E (d?, 3o — ^« «1) -t- C (^o/i — -^i/o) = X-Z,
on aura
H(jo«,
k étant une indéterminée. De ces équations , en faisant
on déduit
^.5.-j.z.==~|X(BC-£^)4-Y(EF^HC)-hZ(HE-BF)|, :ir,2.— x.*, = A|x(£F— HC)+Y(AC — F»)H-Z(HF— AE)|, ^«r.-^.r.= -^{X(UE-BF)-hY(HF~AE)-hZ(AB^H»)}.
Si l'on observe qu'en désignant par S le déterminant
a hf h b e f e Ç
on a
(BC— £»)==flS, AC— F» = ^S, AB— H»=i:S, £F — HC = AS, H£ — BF=/S, HF — AE = ^S,
il en résultera
rf^i-r.2. = g(«X4-AY4-y2),
z^Xx — »,j:.= -(^X -h^Y-heZ),
^o7.— •r.r.= g(/X -+- eY 4- cZ).
Maintenant Téquation de la droite qui passe par les deux pôles, c'est-à-dire par les deux points (wCojJKo) -sto), (a:i,ji,zi), est
( ^ ) Ces relations seront démontrées en général au % Vi.
elle deviendra donc , en ayant égard aux équations précédentes ,
(«X-t-A Y+/Z)x-f- (hX-h ôY-h eZ) 74- (/XH-^Yh-c Z)z = o.
La droite représentée par cette équation se nomme la polaire du point (X, Y, Z) ; et les deux systèmes composés, Fundu point (Xc^o? ^0) et de cette dernière droite sur laquelle ce point est situé, l'autre du point (X, Y, Z) et de la droite (25) sur laquelle ce dernier point est situé, sont dits polaires réciproques l'un de l'autre.
2^. On nomme discriminant d'une fonction homogène à deux variables le premier membre de l'équation qui résulte de l'élimination de ces variables entre les équations que l'on obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée par rapport à chacune des variables. Soit
la fonction homogène dont on cherche le discriminant. Egalant à zéro les dérivées partielles du premier ordre de cette fonction par rapport à a: et à ^, il vient
ax^ H- 3 bx^jr -f- 3 cxjr^ -f- dy^ = o , bx^ -h 3 cx^x -f- 3 dxy^ -f- ej^ = o.
Pour éliminer les variables x, y entre ces équations ^ nous ferons usage d'une méthode due à M. Sylvester, et qu'il a nommée méthode diafytique (*), Si l'on considère les six équations obtenues en multipliant chacune des deux précédentes successivement par x*, :cy, j^*, il est manifeste qu'en regardant les six quantités x**, J:*y, ^'j'*? -^'y'? arj"*, jr^ comme les inconnues à éliminer, on a six équations analogues à (20), et que partant le résultat de l'éli-
(*) Philosophical Magazine, june i8/|i.
mination s'obtieudra en égalant k zéro le déterminant des coefficients. Pcjur rendre évidente cette assertion, écrivons ces six 'équations de la manière suivante :
ax^ -h 3 bx*jr H- 3cx^y^ ■+■ dx^y^ -f- . -4- . =: o, . -♦- aj^y-^-^hx^y^-^-Zcx^y^-^- dxy* -f- . =0, . 4- . H- «X3 7*-+- 3ÔJ?*/'-H Scxj* H- flf/» =: o,
bx^ -h 3 cx^y -f- 3 dx^y"^ -h ex^y^ 4- . H- . =: o, . -h bx^ y "{' Z cx^ y"^ -\- Z dx^ y^ -{- exy* ■+• . = o, -h bx^y^^ 3cx^y*-^ Zdxy* -h e/* ■c= o>
et Ton aura, pour le résultat de Félimination,
Le premier membre de cette équation est le discriminant de la fonction homogène du quatrième degré à deux variables. La valeur algébrique de ce discriminant a été mise par MM. Boole et Cayley sous la, forme très-simple
{ne — ^bd'^3c^y^ 2'] (ace — ûd^ -^ eb^ -- c^-h nbdcf-
De ce qui vient d'être dit, on conclut sans peine que, en général , le discriminant d'une fonction homogène à deux variables du degré n est une fonction homogène des coefficients du degré 1 [n — 1).
3^. Soit u une fonction^omogène du r*^'"* degré des n variables Xi, Ts, . . . , Xn- En posant, pour abréger,
du aXc
fh,i =
dUi
il il - ■ ■ ■ ■ ■■ I
dXrdXj
(a4) on aura , par un théorème connu d'Euler,
4?i «i.i 4- ^a «I,» H- . . . -h X„ tt,,, — (/• — i)||, ^1 tfa.i H- ^j Wa,aH- . . • -f- X, «,,„ — (r^— l) «,
Xi W»,i -h«> ««,1-1- . . . + X„ «„,,— (r— l) M„
X, a, -H xi «, -f- . . 4- x„ w„ — ra = o.
L'élimination de art, Xf, . . . , r^ entre ces (n donne
«l.l «1.2- • «OMt»!
i) équations
Wi Kj. ..w,
d'où
««,1 ««,».. «ii,»»^
Il suit de là que, pour les valeurs des variables oCi, X),. . ., x„qui rendront nulle la fonctiop li, le déterml?
^an^
«1,1 «1,1. . .«i,ii«i
«11,1 «11,2 • .«ii,n«« «I «i .
sera lui-mén|ie identiquement nul.
Si l'on suppose /i = a , le trinôme
M,,, (ij — 2 «,,j «, «2 H- «,,, «î ,
( a5) sera i|ul pour toutes les valeurs de Xi^ Xt qui satisfont à l'équation u{xx^ a:,) = o; ou, géométriquement parlant, si cette dernière équation est supposée représenter une courbe , le rayon de courbure sera infini en chacun des points de cette courbe , c'est-à-dire que l'équation
représentera up faisceau de r droites.
De même l'équation u[xx, XtjX%)^=o représente un cône.
§ V. — Multiplication et éléi^ation aux puissances
des déterminants.
Considérons deux systèmes d'équations de la forme
^1,1 ^i -f- «i,i Xj -i- . . . -H a,,„ a?„ == a„ «2,1^1 -H ûa,ï JTj -h . . . -h a,,» x„ = Ui,
^1,1 ^1 ~i~ ^Jj J^2 H" • • • "+" ^«,1 ^n ^=^ ^{y
^1,2 ^1 "T" ^2,ï Jfi'^" • • «"t" ^n,iXn ~~ ^2> ^1,11 J^i H" ^J,ji J^2 H- • • . -f- Cn,nXn = «^w
Si de ces deux systèmes on veut déduire les valeurs de Jiî y«5 • • • ? J^n en fonction de ai,i , ai,s , . . . ; c,,», Cj,,, ... ; i/i, iis9 •'• 9 z^n 9 on peut suivre deux voies différentes. Ou l'on peut substituer dans le premier syjstème les valeurs de Xi, JCj, . . . , a:„ fournies par le second , et résoudre les équations résultantes , ou bien on peut déduire du premier système les valeurs de oTi, Xs,. . ., x», et, les ayant substituées dans le second, résoudre les équations ainsi obtenues. Les valeurs de yt?y«v • «jy/i fournies par ces deux mé-
ihodes devront être identiques ; et l'équation que ro.n formera en égalant entre eux les dénominateurs de ces mêmes valeurs sera précisément la traduction analytique de la r^le qui gouverne la multiplication des déterminants.
Substituons, dans le premier système, les valeurs de Xi, Xs, . . . , a:„ fournies par le second ; en faisant , pour abréger,
^1,1 <^a,l H" Ol^'i ^2,2 H- ... -h û|,„ C2,„ = «1,2 ,
«1,1 Cn,i-^ «i,2C„;2-f-. . .+ flr,,„f„,„=^,,„,
«2,1 ^2,i -f- «2,2 ^2,2 H- . . . -f- «2,n^2,ll=^ ^»,2>
«n,i ^J,i "H «/i,2 ^1,2 H~ •••-!- On,nC\,n ^^^ ''«,1 > «n,i ^a,i "h «»,a ^2,2 -f* • • • 4" «n.n ^s,ii^ '*»,2>
«n,i ^«,1 ■{" «fl,2 ^11,2 4" • • • ~T" «ii,« ^fl,n •-- "«.n >
on obtiendra
^3,1/1 + ^2,2/2-4-. . .-t-/'2,ii/«= a»,
^n,i X% -h /'ii,a /2 -h ... -h ^«.« Jn = «n ,
et si de là on déduit les valeurs de y^^ /s, . . . , j^», ces valeurs auront pour dénominateur commun le déterminant
(27 ) Si , au contraire , on tire du premier système les valeurs de Xi, Xg, . • • > ^n î leur dénominateur commun sera
et lorsqu'on aura substitué ces valeurs dans le second système pour en déduire celles de j^i,^j,,. . . ,/„, le dénominateur commun de ces dernières valeurs sera évidemment le produit du déterminant qui précède par le déterminant
Du rapprochement des valeursy. ,^2, . . . , j-„ obtenues dans l'un et l'autre cas, résulte immédiatement
ce qui est précisément la formule cherchée pour la multiplication des déterminants. En jetant les yeux sur les équations (27), il devient manifesté que les éléments qui constituent une même ligne du déterminant-produit ne sont autres que les sommes des produits des éléments d'une ligne du facteur P par les éléments des diverses lignes du facteur Q. Il est évident que le déterminant-produit pourra encore s'obtenir en eiïectuant ces multiplications des éléments des déterminants-facteurs, soit par colonnes, soit par lignes et colonnes; ces diverses manières de procéder changeront bien la forme du déterminant-produit , mais sa valeur algélyrique sera toujours la même.
{ 28 ) Ainsi , par exemple , le produit des délerminants binaires
pourra s'écrire des quatre manières suivantes :
ca H- c/p C7 -f- ^^ ^a -h ^7 èp + d^
ax-i-by à^-^bS aa-^cp ay -^ c$
ca-^dy cp-hc/^ ba^dp by-hdS
Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux aux éléments du déterminant Q, Téquation (3o) donnera
et les éléments du déterminant R seront fournis par les équations
OÙ les indices r, 5 doivent recevoir toutes les valeurs i,
3 j • • • • Tm »
Il est important d'observer que dans un déterminant, carré d'un autre déterminant , les éléments conjugués sont identiques entrée ux.
applications .
I**, L'équation du troisième degré que Ton rencontre , dans la Géométrie quand on veut déterminer les axes principaux d'une surface du second ordre , dans la Mécanique quand on cherche les axes des moments principaux d'inertie d'un corps , dans la Physique mathématique quand on désire connaître les forces principales d'élasticité ou les axes de r ellipsoïde d'élasticité , etc. , peut se mettre sous la forme
(29) d'un déterminant de la manière suivante :
Les racines de celte équation sont réelles. Cette proposition, déjà tablie par MM. Cauchy, Kummer, Borchardt, Jacobi , vient de recevoir tout récemment de M. Sylvester (*) une nouvelle démonstration très -simple et trèsélégante, fondée sur la règle relative à la multiplication des déterminants.
En multipliant le premier membre de cette équation par le déterminant y*(X), on obtient effectivement
ou Ton a fait , pour abréger,
«'+ P'-h 7»= A, ap -h 7 (£H- ^) =F, ^»-l-a»-h7« = B, a7+p(iH-c) = E,
c»-ha'-f- p'=C, P7-f-a(^-l-c) = D, on a donc
—/(>)/{- ^) = ^*-i^^*-+- Mi» — N,
et l'on observera que les coefficients L, M, N sont positifs, ces coefficients pouvant aisément être mis sôus la
forme
!: = «*-♦- J'-f- c»-h 2a» -h ap» -h 27%
M = («A — 7»)» + (<îc — p»)»-f- ( bc — ùi^Y
-h 2(«a— p7)*-+-2(^P — a7)'4-(<?7— ap)%
N = f b CL
(*) Philosophical Magasine, iSSi.
Si Ton fait
a — at-^-p, b zzzhx-k- py c==c, -h^, >
la fonction f[ — X) deviendra
7 bf—lt a
et Féquation (j> ( — A,) (p (X,) = o sera de la forme
XJ — L,X;-hM,X» — N, = o,
les coefficients L,, Mi, N, étant positifs. En lui appliquant la règle des signes de Descartes , on reconnaîtra qu'aucune des valeurs de 1] ne peut être négative, c'est-à-dire qu'on ne. pourra pas avoir (X — p)*= — 9*? et, par suite, X = p -I- ^ ^ — I. Il est donc démontré que les racines de l'équation y ( — X) = o sont essentiellement réelles.
Observons que cette démonstration, comme celles de MM. Jacobi et Borchardt, s'étend aux équations du n'^"" degré qui ont la même forme , ainsi que nous le verrons dans la suite.
2°. Soient a,, p,, y,,^ a^, |S,, y^; «s, jSj, y^ les cosinus des angles que trois droites issues d'un même point forment avec trois axes rectangulaires^ et &),, Wj, cot les angles que ces droites comprennent entre elles. On aura les relations connues
«ÎH-P
.«2 H- PiP2-h7i7j =
COSGi>3,
^l -t-pJ +75 ~ '» 3C, aa -h p,p, 4-7,73 =ECOS«j,
«î -+- PJ +7Î = ï» «saa-h PaP3-|-72 73=COS«i»
et, par suite,
«1 Pi 7'
I COS«)3 COSCO3
«2 Pa 7j
a.î Pa 7-^
CO$&>3 I C0S&>| CGSWi COSWi I
Or, en représentant par a^ b^ c les cosinus des angl^ que fait avec les axes la perpendiculaire au plan de deux droites , la seconde et la troisième par exemple, on a, comme on
sait ,
U-P»y a~ ^ 3 7^ L L.a-^7»— «273 ^ . «aPs— «3^2.
SlD(ii)i
smb>, sm&)|
sin (Ù2 sin 63 = sin «1)3 sin Ô2 >
01, 0t, ds désignant les angles dièdres compris entre les plans dont les intersections communes sont respectivement la première , la deuxième et la troisième droite* En substituant ces valeurs dans Téquation (3i), il viendra
sin «1)1 sin «1)2 sinG^=: sin&)| sinua sin 63 = zt ^( I — C03' w, — cos' wj — ces' W3 -H 2 ces 0^1 ces W2 cos W3 ).
3°. En s'appuyant sur la multiplication des déterminants, on peut obtenir quelques transformations de déterminants, qui sont utiles dans un grand nombre de recherches. Nous donnerons deux exemples de semblables transformations.
Si le déterminant P est multiplié par le déterminant
et que l'on suppose que les indéterminées «i, «j,. . . , a, vérifient les n équations
«1 «1,1 -f- «2 «2,, + . . . -h a„ an,i = I , «1 «1,2 ■+- «2 «2,2 4- . . . -i- a« a„,2 = o ,
«1 «i,/i H- «2 (tî,R -f- . . . 4- a„ eî„.,= o,
le déterminant-produit sera
\,i Ot,t — «1,1 «a,i,«i,S , Ûj,i — <!,,, «3,8^
«J,t fll.» Oj,,
rtj.j «3,1 — «î.i ^3.i^Oi.8^ ^3,1 — ^M «3.3^- -«a,» <»s,i — «M ''a,»
-1,2 «11,1 On-I.l ««,«^««-1,3 ««,1 ^«-1,1 ««,3^ • «^ll-l,» ««,1— ««-M^«,«
Maintenant en observant que
6n âui^a
L'utilité de cette formule vieiff d^être mise en évidence par M;. Herpiite (*) dans une recherche sur la théorie des nombres.
Comme cas particulier de cette même formule , on a
*i — * j Xi — X'
JF| Xl
^i Xi
équation dont le second membre est égal à ±: — y , À ^tant
1 aire du triangle qui aurait pour sommets les trois points (Xj, j^i), (xt^yt)^ («^8^ J») d'uïie ellipse aux axes aa^ ai; Si maintenant A , fx, v désignent les longueurs des côtés du triangle j et / , m , /i les demi-diamètres de l'ellipse respectivement parallèles à ces côtés , en élevant au carré les deUx
(*) Journal de M. Lioiivillo^ tenue XIV.
( 33 ) membres de Fëquation précédente , il vient
d'où
Comme second exemple de transformation des déterminants , nous démontrerons un théorème énoncé par M. Sylvester ('*') et dont le même auteut a fait diverses applica-' tion s géométriques *
Théorème. — La valeur du déterminant
est égale à celle du déterminant
fl =
Aj,i Aa,2* • 'Aj^n i ••• •••>
dans lequel
Ar,i=ar,*-f- ^r-i- ^
/it9 As V • • 9 ^i) ^t 9 * * * ) étant deux séries de quantités prises arbitrairement.
A ' »<•• lilOl
(*) Philosophical MagaiinCy iSSs^
(34) En effet, en multipliant le déterminant (32) par le sui-
vant ;
1 o. . .o kx
o 1 . . . o kl
o o . . I kn O O. . .0 1
et effectuant la multiplication par ligues , on obtient
^,|-H ^1 <în,i4* Ai. . . I
Multipliant maintenant ce résultat par le déterminant
hx hi.,,hn I
et effectuant le produit par colonnes, il viendra
comme on voulait précisément le démontrer.
L'équation
