PQ = R

différentiée successivement par rapport à a^,i, ^^^j, .... a^^n donne, en ayant égard aux équations ( 27) ,

dK dK

rfR

dhr,%

Q nf -^ 31"" ^1.2 "^ jl' ^2,«"^"- • •"+" ^ji. ^n,2>

fiter,2 </Ar,i

^dar,n dhr,K '"^

^2, ni" • • • "T" ~7» ^n.H •

//Ar,j

Multipliant ces équations par -j-^y ■—>, . . •> -r-^» et faisant la sonune des résultats, on a

dar.i d€s,y dar,2 dc,,2 '" da,,^ dc,,^ (^r,s^ en se rappelant que l'expression

d'après ce qui a été démontré au § III , est nulle ou égtale a Q, suivant que les indices r, s ont des valeurs diflerenteis ou des valeurs égales .

Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux à ceux du déterminant Q, la formule (33 ) donne

i^ î[L 1L IL rfP dP dK

^ ^' dar,x da,,x dor.^ da,,^ "' t/ar.n das,n'~ dhr,,^

d'où, en particulier, si r = 5,

^ \dar,i) \dar,2) *" \dat,n) " d/tr,r'

* Exemple :

(a, p.— a. p,)»4- (vaa,— 7,a,)»-h (p27« — ?• vO'

Il est évident que par la différentiation on peut obtenir d'autres relations entre les déterminants P, Q, R5 nous noterons seulement les deux suivantes. Différentions Téquation

par rapport à c,.^,,^ , et l'équation

dP dK dK dK

• • • I -^1^ '-Il J

(36) par rapport à Cr^^,\ en soustrayant les résultats, il vient

rfQ dP dq

■ — — -r Lu Zf

dOr,, dCr^,,^ rfar,*, dCr^,,

dhr^^ dhu,r^

où Ton doit attribuer hu^p toutes les valeuréi i ^ â , . . . , n. En différentiant (36) par rapport à ^rj,*, et se rappelant les équations (5) et (6), on a

rf'P

du- , da, .

Ci^,t^ Cv,s

dhf^^ dhr^,i

Si Ton suj^pose que les éléments du déterminant P sont respectivement identiques à ceux du déterminant Q, on a

et^ par suite, eli comparant les deux équations (37), (38), on rétrouve Téquation (i4) établie au § III.

Considérons les deux systèmes d'équations

dP dV

dar,i

dP __

dOr,,

= Hr,2,

dar,\

Hr,nt

dq dQ dq ^

acx,x dCx,i acx,n

Or-x — -T- li

dc^,\ ' dc-i^t

dQ dq dq ^

En multipliant les équations du premier système respecti-

dq dq do 1.1

vement par -r— *» -; — » • • • » t^ > et aioutant les résultats,

on a

rfP rfQ rfQ rfQ

«^r,l rtC,,, dC2,i dCn,i

et l'on obtient d'une mai^ière analogue

dP '^Q .„ dQ rfQ

</«r,j «C,,, dC2,2 dCn,2.

Ces nouvelles équations multipliées respectivement par «r,i ^r,f • • •^r,n^ puîs ajoutécs , dounent ^ en ayant égard au set ond système j^

(39) PQ = H,,.K,,,-f.H.,,Kr,,+....+ Hr,„Rr,«^

et ces mêmes équations, multipliées par a^^i a,^t . . . a,,„ , puis ajoutées, donneut

Les H,.^i, H^,î, . .K,,i, K^^, . . . sont évidemment des détermina^nts du rV^"*' ordre.

applications.

i®. imaginons u.n tétraèdre rapporté à trois arcs, rectangulaires ayant leur origine au centre de gravité de Tune des faces. Soient a, A, c les aires des autres trois faces, «19 Pi, 7i î «t 5 jSî ;7î ; a, , (Ss , 78 les cosinus des angles que les perpendiculaires abaissées de l'origine sur les plans de ces faces forment s^vec les demi-axes positifs des coordonnées. Soient enfin Xi, ji, ^, 5 J^t, J^j» «2 ; «^ç^/sr ^5 les çopr-r données des centres de gravité des mêmes faces, et m \c volume du tétraèdre.

Par uu théorème connu dô à M. Cauchy, on a les neuf

équations

En posant

actiXi-+- baiXi-h ca^ X3 = f>

a «1^1 •+■ &a*r» 4- coaj^s = o, «a, z, -f- ^ ajZ, -h cajZs = o;

apiar,-H èpjXj-i- cPa.i?3=o, « p. Ji -H b p, j, -4. c p3 j3 = t^, «p,z, -<- èpjz, -4- cpjZj =a;

û7»^i"i" ^72^2 H- ^73*3 =0, «71^1 Hr ^7»J» -*- ^73/3 = o, «7i*iH" ^7ï«2-+- ^73 «3 =«'.

«pi ^P, Cp3

Pi Pa Pa

Xi ^a ^3

Ji Ja ^3

Zi i

on, a

Maii^tenant ^ d'après une formule connue y

et si II désigne te volume du tétraèdre qui aurait ses som<mets aux centçes de gravité des &,ces de la pyramide donnée , on a

par conséquent

Les équations (39) donnent ici

dK V dK V d^ V

{ 39) R étant égal à —j-" Ou déduit de là

et, par suite,

2 bc .

/ = sin w ,

l désignant la longueur de Tune des arêtes du second tétraèdre , et ot) l'angle dièdre compris entre les faces aux aires 5, c. Mais si X représente la longueur de Tarète opposée à la commune intersection de ces mêmes faces , on a

donc

2 bc .

2*^. Ayant fait

P = f or, j^, Zj

Oy bx c,

on a