DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE
Quai des Augustins, 55.
( L'Auteur et l'Éditeur de cet ouvrage se réservent le droit de traduction )
PREFACE DE L’AUTEUR
For what is the theory of déterminants P It is an algebr upon algebra; a calculus which enables ns to combine and foretell the rcsults of algcbraical operations, in th same way as algebra enables us to dispense with the performance of the spécial operations of arithmetic.
Sylvestek , Phil. Mag., 1 85 1 .
Qu’est au fond la théorie des déterminants? C’est une algèbre au-dessus de l’algèbre, un calcul qui nous met à même de combiner et de prédire les résultats des opérations algébriques, de la même manière que l’algèbre nous permet de nous dispenser de l’exécution des opérations particulières de l’arithmétique.
Les recherches de Cramer et de Bezout (1) sur ia résolution des équations algébriques linéaires et sur F élimination ont donné naissance à la théorie de ces fonctions qui, primitivement appelées résultantes, sont généralement désignées dans l’époque présente sous le nom de déterminants . La loi de formation des déterminants est due à ces deux géomètres, qui la déduisirent par analogie de la considération de la forme
que présentaient les formules de résolution pour les cas de deux et de trois équations du premier degré à
( i ) Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Appendice, \ n5o. — Histoire de l J Académie royale des Sciences ,
PRÉFACE I)E L’AUTEUR
autant d’inconnues. Celle loi forme encore le but principal des travaux de Laplace et de Vandermonde ( i ) sur l’élimination, travaux dans lesquels sont démontrées comme corollaires de ladite loi et la propriété que possèdent les déterminants de changer de signe ou de s’annuler lorsqu’on permute ou qu’on suppose identiques quelques-uns des éléments, et cette autre propriété d’après laquelle un déterminant d’un ordre quelconque est équivalent à une somme de produits de déterminants d’ordre inférieur (§ III). Dans le Mémoire de Lagrange (2) relatif au problème de la rotation d’un corps solide et à la pyramide triangulaire, il est fait usage de déterminants du troisième ordre, et l’on trouve énoncées à l’égard de ces déterminants quelques propriétés qui ont été dans la suite étendues aux déterminants d’un ordre quelconque. Ces propriétés peuvent se réduire aux suivantes : i° le carré d’un déterminant est lui-même un déterminant; 2 0 le déterminant à éléments réciproques d’un déterminant du troisième ordre est égal au carré de ce dernier déterminant (§§ Y et VI). Gauss ( 3 ), dans ses recherches sur les formes binaires et ternaires, a généralisé la première de ces propriétés en
(1) Histoire de V Académie royale des Sciences , 1772. Seconde Partie.
(2) Nouveaux Mémoires de V Académie royale de Berlin , 1773.
( 3 ) Recherches arithmétiques , 1807,
PRÉFACE DE l’àUTEUR. Vil
démontrant, pour les déterminants du second et du troisième ordre, que le produit de deux déterminants est lui-même un déterminant. Dans l’ouvrage classique de cet auteur se trouve introduit pour la première fois dans la science le mot de déterminant . Les théorèmes de Lagrange et de Gauss furent étendus par M. Binet ( i ) à la somme des produits d’un nombre quelconque de déterminants du second, du troisième et du quatrième ordre; mais la généralisation complète de ces théorèmes pour les déterminants d’un ordre quelconque est due à M. Cauchy ( 2 ). Les deux premières sections de la seconde partie de l’important Mémoire de cet auteur Sur le nombre de valeurs qu'une fonction peut acquérir , etc., contiennent la règle générale pour la multiplication des déterminants, et les principales propriétés des déterminants à éléments réciproques; dans les deux autres sections se trouvent démontrés les plus importants théorèmes sur les déterminants mineurs et sur les déterminants des memes déterminants nommés par le meme géomètre déterminants dérivés. Au Mémoire de M. Cauchy vinrent s’adjoindre successivement divers travaux (3) roulant sur l’application des théorèmes
( 1 ) Journal de V Ecole Polytechnique , XVI e Cahier, 1 8 1 3 .
(2) Journal de l'École Polytechnique , XVII e Cahier, 181 5 .
( 3 ) Crelle, Journal fur die. malhematik. Band XII. — Liouville , Journal de Mathématiques , tome II, etc.
PRÉFACE DE L’AUTEUR
connus jusqu’alors, et c’est seulement en 1841 que l’illustre Jacobi (i) dans le Mémoire De formatione et proprietatibus determinantium > posa les bases d’un traité concernant la théorie des déterminants. A la suite de ce Mémoire, il en parut un autre du meme géomètre, De determinantibus functionalibus . Dans ce nouveau travail, l’auteur, faisant usage des procédés du calcul différentiel et de quelques propriétés connues de la composition des fonctions, ajouta une partie extrêmement importante à la théorie dont il est question (§ X). On doit encore à Jacobi (2) les premières recherches sur les déterminants gauches (§ VIII), lesquelles ont été complétées et étendues par M. Cayley ( 3 ) dans deux intéressants Mémoires. Les travaux les plus récents sur les déterminants consis- tent dans diverses applications de leurs propriétés à l’analyse, à la géométrie, à la mécanique, à la théorie des équations, à la théorie des nombres, etc., applications que l’on doit à MM. Jacobi, Cayley, Sylvester, Cauchy, Hesse, Hermite, Borchardt, Salmon, Malmsteen, Joachimsthal, etc. ( 4 ).
( 1 ) Crellf, Journal fur die mathematik. lîand XXII.
(2) Crellf., Journal fui die mathematik . Band II. Ucber die Ifaffsch c J n tegra dons- Met h ode .
(3) Crfliæ, Journal fur die mathematik . Band XXXII. U.
(4) Jacobi, Mathcmadsche JVeike. — Cauchy, Exercices d A-
PRÉFACE DE L’AUTEUR
La variété et l’importance des applications de la théorie des déterminants font sentir aux étudiants le désir et le besoin de se procurer des ouvrages où ils puissent trouver exposés les principes de cette branche de l’analyse. Les Mémoires de Jacobi et l’opuscule justement estimé de Spottiswoode (i), Elemcntarjr theorems relating to déterminants, sont les seules sources auxquelles puissent recourir ceux qui s’engagent aujourd’hui dans l’étude de cette théorie. Nous ne pensons donc point faire une chose inopportune en publiant un nouveau livre sur la matière.
nalysc et de Physique mathématique. — Salmon , On the higher plane curves. — Journal de Crelle. — Journal de Liouville. — Philosophical Magazine . — The Cambridge and Dublin mathematical journal. — Annali di Tortolini.
( i ) London. George Bell , i85i.
