Wf

^ 2 ,n • • • Gn,n

Il est tout aussi évident que si l’on change l’une dans l’autre deux lignes ou bien deux colonnes, tous les termes delà

valeur algébrique du déterminant changent de signe, puisque dans chacun d’eux on effectue ^ne permutation sur les premiers indices de deux éléments, mais la valeur absolue du déterminant reste la même, de façon que l’on a

A 1 , 1 • • • fl l , /•

■ * fl\ ,t •

• • fl\ ,n

• • • fl\ ,i • • • fl \ ,r » •

fl7,i ♦ • . flj,r •

• • fl7,n

• • • flj,S • • • fl-7,r • •

fl/ 1,1 * • fl/i.r •

• • fln.s •

• • fln.n

An,

• • * fln,s • • • fln,r • •

• An,n

d où résulte, quand on suppose égaux les indices r et s ,

A\,\ • • • i,r • > • A\ ,r • • • A t,n fl 7,1 • • • fl 7, r • • ‘ fl 7, r • • ‘ A 7, n

A», l • • * fl'i.r • • • fl n,r • • • An, n ^

c est-à-dire que , si deux lignes ou bien deux colonnes d’un déterminant deviennent identiques , le déterminant est égal à zéro. Et le déterminant sera encore nul lorsque les éléments d’une ligne ou ceux d’une colonne seront eux-mêmes identiquement nuis.

Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne contiennent un facteur commun , ce facteur apparaîtra dans chacun des produits qui composent la valeur algébrique du déterminant, et l’on pourra, en conséquence, le mettre en évidence comme multiplicateur commun de tous ces produits, de sorte que l’on aura

fl\, j • ♦

• Al ,n

fl\.7 • • • fl\,n

a tfj.i

■ fl7,n

fl7,7- • • fl7,n

fl/1,7 • ♦

fln,n

An, i

fl/t,7 - • ♦ fln,n

Pareillement on pourra multiplier les éléments d’une ligne ou d’une colonne par un meme facteur, pourvu qu’on place ce facteur comme diviseur du déterminant.

Si les éléments d une ligne ou d’une colonne résultent de la somme de deux ou plus de deux quantités, le déterminant sera égal à la somme d’autant de déterminants qu’il y a de ces quantités; et l’on aura par exemple

I,|-+-GC| #i,l* • ,n

a t a ift . . (ii tn

#î,l a 7,i • • • fti.n

a a Æj,j . . . üj t n

• • • Qn.n

^n.\ Qn.l • • • &n,n

Observons que, dans le cas où les <*,, a 2 , . . . , a n seraient respectivement égaux aux éléments d’une autre colonne du déterminant primitif, ou n’en différeraient que par un facteur constant, le dernier déterminant du second membre serait égal à zéro.

Exemples. — i.°. ,/ * yt .\

o xyz

x o xyz 7 xy 7 z

y xyz 7 o x 7 yz

z xy 7 z x 7 yz o

Si x 9 y , z sont les longueurs des côtés d’un triangle, ce déterminant représente 16 fois le carré de l’aire du même triangle.

2°. L’identité de deux déterminants suivants est mani-

feste,

Si l’on suppose que s 0 , .y, . . . représentent les sommes des puissances zéro, première , . . . des racines de l’équation

x* -h ax 2 -f- bx 4- c = o ,

le déterminant qui précède égalé à zéro, exprime la condition pour que cette équation ait deux racines égales. En effet, ce déterminant, d’après ce qui vient d’être dit, peut s’écrire

o s 0 s t 4- as 0 Si 4 - aSi 4- bs 0

s 0 Si 4- as 0 Si 4- asy 4 - bs 0 s 3 4 - as 2 4- bs x 4- cs Q

s t Si 4- aSi s 3 4- aSi 4- bs { s k 4 - as 3 4- bs 2 4- cs {

et, par conséquent, en ayant égard aux relations connues qui régnent entre les coefficients et les sommes des puissances des racines d’une équation , on aura

—a 7 b 7 — 4 — 4 « 3 c — 2 7 cî -f* 1 B abc ,

ce qui, égalé à zéro, exprime précisément la susdite condition.

Considérons l’équation (i) , ou cette autre plus générale, P = a XtS a, # , 4- a iiS a. itS 4- • • • 4- a„ iS a„, r ,

*0 ^2 Si Si s 3

la b c o 3 la b 3 2 a b o a 2 b 3 c o

où P représente le déterminant, premier membre de la même équation (i) , et où l’on a fait, pour abréger,

ai, s— i

• ai tn

ar— 1,1-j-i • •

• a r +i tn

étant évidemment indépendants des

[..es et j )f , • •

éléments «i j0 a a,sj • • • on aura les équations

et, par suite ,

da liS *

' s da lit

da-i't

• • 4- Qn,s j

dûn,s

*’ da r> ,