PQ = R

conduit évidemment à

Q C>p r> , = (")R r ,, {«-■ ff 0Q 1 -H (*)R f) , # . .

Si dans cette équation on suppose s = i , 2 , 3 , . . . , u , on obtient u équations qui, respectivement multipliées par

et ajoutées en ayant égard à celles-ci

(B “ W) Q -h lw) Q^ . - •

-h WQs.u («— = Q,

(m)Q î>i (m /ft )Q — ( n " m) Q-r,-J -h. . .

donnent la suivante :

( 6 1 ) <->P M WQ,,, -h <-)Pr.*<">Q, (m) Pr,« = <->R r>f .

L’équation ( 33 ) se déduit de cette dernière en faisant m — i . Si l’on suppose que r est égal à 5 et que les éléments correspondants des déterminants P et Q sont identiques, on aura

(62) (<")P ,.,)*•+- • .+ ( (m) Pr.«) J =

En désignant par (m) T K , WV* les déterminants dérivés des déterminants Q, R, on aura, d’après l’équation (61),

et aussi

Au moyen des équations (59), (60) , on pourra obtenir une équation qui comprendra , comme cas particulier, l’équation (39). En suivant le procédé de calcul employé pour arriver à cette dernière équation, on trouvera facilement

(63) PQ = H,., K,,, 4- H, (î K,, t 4 - . . . 4- H,,* K,,« ,

où

H s r = <")Q r ,, <■— -h (")Q ffl (-■ 4- . . .

-h (' n) Qr,« ( n ~ m) P -u, -s,

K,,, == (*— wp,, ( + WP, ( , + ...

La formule de décomposition ( 63 ) est due à M. Sylves ter (*).

Applications.

i°. Soit représentée par

TJ — 2^ ^ flr,j Ær ^ s

(*) Philosophical Magasine, 1 85 1 .

una fonction quadratique à n variables. En transformant cette fonction dans la suivante :

au moyen de la substitution linéaire

X\ Z t -f* Cj,i Z, -f- . . . -+- C n> , Z n ,

=z c i,i z t “H c îf j Zj -f- . . . -f- c n> i z n ,

X n C tftt Z, -f- C 2,n Zi -f- ...*+* C ni n Z n ,

on a, comme on sait,

(^4) A it f Cj,i fl\ ,r “f" C», j ^î,r "f" • • • "4“ Cs,n A. n,rj

A 1>r , /? s>r ,..., étant données par les équations (27).

Supposons que la fonction U se soit transformée dans V par une substitution orthogonale, c’est-à-dire par une substitution dont les coefficients c ryS vérifient les équations

ce qui entraîne

On sait que dans ce cas la fonction V peut se réduire à la forme

et que les coefficients A r sont les racines de l’équation du n ihn * degré

ûr

Cette équation rencontrée pour la première fois par Laplace dans ses recherches sur les inégalités séculaires des planètes (*) , et qui a donné naissance aux premiers travaux du même auteur sur les déterminants, admet n racines réelles, comme l'ont démontré Borchardt et Jacobi (**). En se rappelant la manière dont cette propriété a été établie pour les équations du troisième degré de même forme (§ V) , il est clair qu’en posant

&r,s = <*r, i <*t,i -f- ffr.J <*s,\ -+-••• “f" °t,n a i,ni

et, par suite,

^i,i ^ i , 1 . « . ftt,n

^ 2,1 ^ 2,2 • • • A It

nous aurons démontré la réalité des racines de l’équation (65) quand nous aurons prouvé que tous les coefficients des diverses puissances de X dans l’équation suivante sont positifs :

~h H n 2 . .zp HA*dtH e .

Or le coefficient de X 2 " 1 résulte évidemment de la somme des déterminants mineurs principaux du m tèm * ordre du déterminant

En représentant donc par (w 'R, v . un quelconque de ces

(* ) Histoire de l’Académie des Sciences, année 1772.

(**) Journal de Liouville, t. XII.— Jacobi, Matematische Werkc, Band 1.

déterminants mineurs principaux, par P le déterminant f ( o), et observant qu’entre les déterminants (m) R r>r et les déterminants mineurs du déterminant P règne l’équation (62), il s’ensuit que le coefficient de H,„ est égal à la somme des carrés de tous les déterminants mineurs du m léme ordre du déterminant P. Les coefficients de (66) sont donc positifs, et, par suite, réelles les racines de l’équation ( 65 ).

2 0 . En conservant les notations de l’application i°, désignons par N le déterminant

Quelle que soit la substitution linéaire qui transforme la fonction U dans la fonction V, il existe entre les déterminants* mineurs du déterminant P et les déterminants mineurs du déterminant N une relation importante que nous allons actuellement établir. Observons pour cela que, ayant par (64)