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MPv,

I üv/ )

Ces déterminants de déterminants mineino, considérés pour la première fois par M. Cauchy (*), ont reçu du même auteur le nom de déterminants dérivés du déterminant P.

On nomme déterminant complémentaire du déterminant mineur le déterminant mineur de l’ordre ( n — m)

que l’on déduit du déterminant P en effaçant dans ce dernier tous les éléments à l’exception de ceux qui ont leur premier indice compris dans la combinaison r et leur second indice compris dans la combinaison s. Ce déterminant complémentaire peut se représenter par le symbole (”— w) P rj J? et le déterminant complémentaire du déterminant (58) serait

Æji,fH-2 • • • &n,n

où n — m = v. Le déterminant dérivé des déterminants qui sont complémentaires de ceux constituant le déterminant peut être représenté par le symbole et les dé-

terminants (m) S M , (n ~ m) S u se nomment déterminants dérivés complémentaires.

En se rappelant la règle pour la formation des déterminants exposée au § III (page n) , on s'assurera facilement de l'exactitude des deux équations

) •+• wp «.,

Si dans ces équations on attribue «à r et 5 les valeurs i,

(*) Journal de l'École Polytechnique, XVII e Cahier.

2 , 3,..., ra, on obtient u * équations, au moyen desquelles, et par l’application de la règle de multiplication des déterminants, on arrive aisément à

La formule (43) se déduit de celle-ci en faisant m = i.

Remarquons que, d’après les conventions qui ont été faites relativement aux symboles des déterminants mineurs, l’équation (36) prend la forme

Q 0>p r> , = 0)R rfl H- OR r , 2

+ WR,,, >Q

et de même (38) peut s’écrire

Q <*>p r# , = (*>R, fl <— »Q H- <*>R r .t H-. . .

où *= — et généralement la différentiation exé-

cutée m fois de suite sur l’équation